Решение системы линейных уравнений методом Крамера и с помощью расширенной матрицы

1 ˝ ºŁ Ø ß Ł

´ ŁŁŁ f(x) - Œ ºŁ Ø Œ Ł x.

¯æºŁ ŒŁ Ł æ ø æ , Ł ß æ Œ Ł -

Ł (1). ˚ ß æ æ ß , æºŁ f⁰(x_∗) 6= 0 Ł Œ ß , æºŁ f^(k)(x_∗) = 0 º k = 1,...,n − 1, f⁽ⁿ⁾(x_∗) 6= 0. º n ß æ Œ æ Œ .

1.1 ˛ º Ł Œ Ø

ˇ º Ł Œ Ø Ł (1) Ł º Ł æ -

Œ ª Ł º (a,b), Œ º Ł Œ Ł . ˛æ Ø º Ł Œ Ø æº Ł

^[1]. ˇ æ Œ Ł º Ł ß Œ -

Œ [a,b], Œ ı Œ ª Ł Ł Ł ßı Œ .

ª a Ł b Ø æ ı Æß Œ c, Œ Ø Œ Ł Æ ø æ º :

f(c) = 0, a < c < b.

¯æºŁ Œ Ł f(x) Ł º , Ł ª º Ł

º Œ Ł Œ Ł f(x) = 0 .

ºª Ł º Ł ºŁ æº øŁ Æ

YesDo:=True; While YesDo do

Input a,b, M; h = (b − a)/M; f_min := 1.0e20; x_i := a; f_i := f(a); for i:=1 to M do begin {i}

xi−1 := xi; fi−1 := fi; x_i := a + h ∗ i; f_i := f(x_i); If f_i < f_min Then begin {min}

fmin := fi; xmin := xi; end; {min} If f_i−1 ∗ f_i ≤ 0 Then

Output xi−1,fi−1, xi,fi; end; {i}

Output fmin,xmin; Input YesDo; end; {While}

1.2 ÆŁæ Œ ŁØ ÆŁæ Œ ŁØ( º Ł º ) æ æº ø Ł -

Ł ææ : Ł º a,b, Œ (f_a = f(a)) · (f_b = f(b)) < 0,

ºŁ æ º - x_s = (a+b)/2 Ł ß Łæº æ f_s = f(x_s). ¯æºŁ f_s·f(a) ≥ 0, a := x_s, f_a := f_s, Ł b := x_s, f_b := f_s; ˜ º ß º æ æº øŁØ ł ª, Ł . .

˝ i- ł ª ŁÆºŁ ß Ł Œ æº Ł º æ (a+b)/2,

Œ Ø ª ł æ Ł - º æ (b − a)/2.

ÆŁæ Œ ŁØ Łæ æº øŁ ºª Ł ^[2]

1: Input a,b, δ,N;

2: i := 0;

3: fa := f(a); fb := f(b);

4: Repeat

5: xs := (a + b)/2; fs := f(xs);;

6: If fs ∗ fa ≥ 0

7: Then begin fa := fs; a := xs end;

8: Else begin fb := fs; b := xs end;

9: i := i + 1;

10: xⁱ := (a + b)/2;

11: dx := (b − a)/2;

12: Until ((|dx| ≤ δ|xⁱ|) OR (i ≥ N));

13: Output i,xⁱ,dx;

1.3 ı

´ ı æ º Ł Œ (a,b) º Łæ º æ ºŁØ Ł º Ł ª Ł ßı ŁØ Œ ŁŁ f(x)

fˆ(t) = f(a)(1 − t) + f(b)t, 0 ≤ t = (x − a)/(b − a) ≤ 1.

º ø Œ º Œ ı Ł æ Ł Ł f^ˆ(t) = 0:

t_∗ = f(a)/(f(a) − f(b)), x_s = a + t_∗(b − a);

˜ º Łæı Ł æ Łª ª Ł Ł º Œ , Œ Œ ÆŁæ Œ ŁØ. ı Łæ æº øŁ ºª Ł

1: Input a,b, δ,N;

2: fa := f(a); fb := f(b);

3: i := 0;

4: fa := f(a); fb := f(b);

5: Repeat

6: y := x2 − x1;

7: t := fa/(fa − fb); xs := a + y ∗ t

8: fs := f(xs);;

9: If fs ∗ fa ≥ 0

10: Then begin fa := fs; a := xs end;

11: Else begin fb := fs; b := xs end;

12: i := i + 1;

13: xⁱ := (a + b)/2;

14: dx := (b − a)/2;

15: Until ((|dx| ≤ δ|xⁱ|) OR (i ≥ N));

16: Output i,xⁱ,dx;

1.4 æ º Ł

¨ ª æ æ Ł ı ºŁ Ø ª Ł (1) Œ

Æߌ Ł Ł º Ł

dx/dt = f(x), x(0) = x⁰. (2)

Ł º ƺ æ Ø Ł ß º ß æ Ł ß æ æ Ł , Æß Ł t → ∞ x(t) → x_∗. ª ŁÆºŁ ł Ł

ŁŁ (2) æ ø æ Ø Ł ª Łæº ª ( º -

ß º æ æº øŁ æº Ł : æº º æ {x_k,k = 0,1,...}º ı Ł æ ƺ æ Ł |x_k−x_∗| < R, Œ Ø Ł ª Ł-

Ł æ ı æ Ø Œ. ª ßÆ τ, º ø ª

æº Ł ,

sign(τ) = −sign(f⁰), |τ| < 2/max|f⁰|,

Æ æ Ł æı Ł æ æ º Ł .

1.5 ˝

˝ º Ł (1) Łæß æ Ł

xⁱ⁺¹ = xⁱ − [df/dx]⁻¹f(xⁱ). (4)

˛ º Ł :

ª , Œ Ł g(x) ∈ Lip_c(X) , æºŁ |g(x) − g(y)| ≤ c|x − y| º æ ı (x,y) ∈ X.

( æı Ł æ Ł ˝ ). ˇ æ f : D → R ª D - Œ ß ßØ Ł º , R - ø æ æ ,

Ł æ f⁰ ∈ Lip_c(D). ˇ º Ł , º Œ ª ρ > 0 |f⁰| ≥ ρ Ł æ ı x ∈ D. ¯æºŁ Ł f(x) = 0 Ł ł Ł , æ ø æ

Œ η > 0, Œ , æºŁ |x⁰ − x_∗| < η, æº º æ , º Ø

x^k+1 = x^k − f(x^k)/f⁰(x^k), k = 0,1,2,...,

æ ø æ Ł æı Ł æ Œ x_∗ . ` º ª , º k = 0,1,2,...

.

˙ Ł 1. ˚ Œ æº Ł ß, Ł f⁰(x_∗) = 06 æı Ł æ Œ Ł . ¯æºŁ f⁰(x_∗) = 0 , º Œ ºŁ Ø .

˙ Ł 2. ˜º æı Ł æ Ł ˝ º ŁÆºŁ Ł x⁰ º Æß æ ƺŁ Œ Œ Œ . ¯æºŁ ææ Ł |x⁰−x_∗|

ºŁŒ , ˝ Æø æı Ł æ . ˝ ºŁ æº øŁ ºª Ł

1: Input x⁰, δ, N;

2: i := 0; 3: Repeat

4: df := [df/dx](xⁱ);

5: dx = f(xⁱ)/df;

6: i := i + 1;

7: xⁱ := xⁱ − dx;

8: Until ((|dx| ≤ δ|xⁱ|) OR (i ≥ N)); 9: Output

g(x) = f⁰(x) = exp(x) − 3bx² = 0. (6)

˝ Łæ Œ 1 Œ ÆŁ Ł º æŒ æ Ł a,b ƺ æ Ł æ ºŁ ß Łæº Œ Ø Ł (5).

2. ´ Œ æ 2-ª æ ª Łæ º æ Ł

f(x) = exp(−1/(x − 1)²) = 0. (7)

Ł Ł Ł æ ßØ Œ x_∗ = 1 Æ æŒ Ø Œ æ Ł( f^(k)(1) = 0, k = 0,1,...). ˇ Ł f⁰(x) < 0 º x < 1 Ł f⁰(x) > 0 º x > 1 .

1.7 ˚ ß Œæ Ł ß

1. ˜º Œ ŁŁ Ł (5) æ Ł a = 1.15,b = 1.25 Ø Ł

ª Ł ß Œ Ø. ˜º Œ ŁŁ Ł (6) æ b = 1.25 ØŁ ª Ł ß Œ Ø Ł ŒŁ æ Ø ø æ Ø æŁ.

˚ º Ł Ł :

Œ Ł f(x): Œ Ł( ŁÆºŁ )

x₁ = −0.83, x₂ = 0.14, x₃ = 1.20, x₄ = 5.14

Œ Ł g(x) = f⁰(x): ŒŁ Ł Œ Ł

(−...−) − 0.41 (+...+) 0.75 (−...−) 4.18 (+...+)

2. ˛ Łæ ß Ł ßł Ł(ÆŁæ Œ ŁØ, ı , æ º Ł , ˝ -

) º ŁØ δ = 1.0e − 2,1.0e − 3,1.0e − 4,1.0e − 5 Ø Ł Œ Ł Œ ŁŁ (5)æ Ł Ł a = 1.15,b = 1.25. ˜º Łı Œ Ø æ æ Ł ƺŁ ß ŁæŁ æ Ł Łæº Ł ŁØ δ.

3. æ º Ł ß æ Ø Ł Œ Œ ŁŁ (5), Æ Ł τ, º Œ ßı æı Ł æ Ł. ˚ ŒŁ Æ º æ æı Ł æ Ł Ł ª ææ ?

4. ˝ :

æº Œ Œ æ Ł 2 ˝ æı Ł æ ºŁ Ø , . .æ ø æ

º , æº æ ª Œ . ˇ Ł , Æ ºŁ Ł ŁŁ ßØ ˝

xⁱ⁺¹ = xⁱ − 2[df/dx]⁻¹f(xⁱ)

Ł º Œ Œ æ Ł 2 æŒ æ æı Ł æ Ł, Ł æ ßØ º æ ª Œ . ˜º ŒŁ Łæ º Ł

h(x) = sin((x − 1)²) = 0.

˜º Ł δ = 1.0e − 7 Ø Ł Œ ª Ł æ ß Ł Ł Ł Ł ß ˝ . Ł Łæº Ł ŁØ.

[1] 1ˇ ` º -˚ łŁ

[2] 2´ Ł Ł ßı Ł ºª Ł ı Łæ º æ º Œ æ Ł Ł ŁØ. ˝ -

Łı Ł Ł Ł , Łæ º æ Œ ß Ł غ it_gen.pdf