Решение систем линейных алгебраических уравнений для больших разреженных матриц

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ

УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГO

ОБРАЗОВАНИЯ

“ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ”

В.А.Еремеев

РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ

АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ ДЛЯ БОЛЬШИХ РАЗРЕЖЕННЫХ МАТРИЦ

(учебно-методическое пособие)

Ростов-на-Дону

2008

В.А.Еремеев. Решение систем линейных алгебраических уравнений для больших разреженных матриц: Учебно-методическое пособие. – г.Ростов-на-Дону, 2008 г. – 39 с.

В данном пособии в концентрированном виде содержится информация о решении систем линейных алгебраических уравнений для разреженных матриц большой размерности. Пособие состоит из четырех основных модулей:

1. задачи линейной алгебры с разреженными матрицами на примере дискретизации уравнения Пуассона;

2. векторные и матричные нормы;

3. итерационные методы;

4. методы подпространств Крылова.

Пособие предназначено для преподавания дисциплин в рамках магистерской образовательной программы “Математическое моделирование и компьютерная механика”.

Пособие также предназначено для студентов и аспирантов факультета математики, механики и компьютерных наук, специализирующихся в области математического моделирования, вычислительной математики и механики твердого деформируемого тела.

Пособие подготовлено в рамках гранта ЮФУ K-07-T-41.

Содержание

1 Задачи линейной алгебры с разреженными матрицами на примере дискретизации уравнения Пуассона 4

1.1 Решение уравнения −x⁰⁰ = f(t) . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2 Решение уравнения Пуассона . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2 Векторные и матричные нормы 11

2.1 Векторные нормы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.2 Матричные нормы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.3 Связь векторных и матричных норм . . . . . . . . . . . 15

3 Итерационные методы 19

3.1 Определения и условия сходимости итерационных методов 19

3.2 Метод простой итерации . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.3 Метод Якоби . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.4 Метод Гаусса-Зейделя . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.5 Метод последовательной верхней релаксации (SOR) . . . 26

3.6 Метод симметричной последовательной верхней релак-

сации (SSOR) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

4 Методы подпространств Крылова 30

4.1 Инвариантные подпространства . . . . . . . . . . . . . . 30

4.2 Степенная последовательность и подпространства Кры-

лова . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

4.3 Итерационные методы подпространств Крылова . . . . . 33

Заключение 38

Литература 38

Дополнительная литература 39

1 Задачи линейной алгебры с разреженными матрицами на примере дискретизации уравнения Пуассона

Основным источником задач линейной алгебры для матриц большой размерности являются задачи, получаемые в результате дискретизации краевых задач математической физики. Далее рассмотрим два примера, иллюстрирующих особенности получаемых матричных задач.

1.1 Решение уравнения −x⁰⁰ = f(t)

Рассмотрим простейшую краевую задачу

−x⁰⁰ = f(t), x(0) = x(1) = 0.

Для дискретизации этой краевой задачи воспользуемся методом конечных разностей. Введем равномерную сетку на единичном отрезке

t_i = hi, i = 0,...n + 1, h = 1/(n + 1)

так, чтобы t₀ = 0, t_n+1 = 1. Используем обозначения

x_i = x(t_i), f_i = f(t_i).

Для дискретизации второй производной воспользуемся центральной конечной разностью

,

которая аппроксимирует x⁰⁰(t_i) c точностью O(h²). Тогда исходная краевая задача сводится к системе линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) относительно

−x_i−1 + 2x_i − x_i+1 = h²f_i (i = 1,...,n)

или c учетом краевых условий x₀ = x_n+1 = 0

2x₁ − x₂ = = h²f₁,

−x₁ + 2x₂ − x₃ = h²f₂,

,

.

Эту СЛАУ можно записать также в матричном виде

Ax = b,

где

0 0 0 ... −1 2

Обратим внимание на следующие свойства матрицы A.

• A – разреженная матрица, она трехдиагональная;

• A – симметричная и, более того, положительно определенная. Это свойство она унаследовала от свойств оператора исходной краевой задачи;

• Структура A достаточно простая, ее элементы вычисляются по простым формулам. Следовательно, для ее хранения в памяти компьютера нет необходимости использовать типы данных, предназначенные для хранения заполненных матриц.

Обсудим размерность полученной СЛАУ. Предположим, что требуемая точность аппроксимации равна ² = 10⁻⁶. Поскольку ² ∼ h², то

⁻³, т.к. h ∼ √². Т.е. требуемый шаг сетки нужно выбрать порядка 10 мы имеем матрицу размерности 10³ × 10³. На практике, размерность должна быть выше, чтобы удовлетворить большей точности.

0 1

Рис. 1: Конечно-разностная сетка. Естественная нумерация узлов.

1.2 Решение уравнения Пуассона Рассмотрим более сложную краевую задачу

−∆u(x,y) = f(x,y), u|_Γ = 0,

где u = u(x,y) – неизвестная функция, f(x,y) – известная, заданные на единичном квадрате (x,y) ∈ Ω = [0,1]×[0,1]}, Γ = ∂Ω – граница Ω. Введем на Ω равномерную сетку, так что координаты узлов даются формулами x_i = hi, y_i = hi, i = 0,...N + 1, h = 1/(N + 1).

Используем обозначения

ui,j = u(xi,yj), fi,j = f(xi,yj).

Для дискретизации вторых производных в операторе Лапласа ∆ воспользуемся формулами для центральной конечной разности

,

Таким образом, исходная краевая задача сводится к СЛАУ

−ui−1,j + 4ui,j − ui+1,j − ui,j−1 − ui,j+1 = h2fi,j (1) относительно u_i,j. Для того, чтобы свести ее к стандартному виду Ax = b, необходимо преобразовать u_i,j к выражению с одним индексом, т.е. перенумеровать каким-то образом. Выбор нумерации влияет, вообще говоря, на структуру матрицы A.

Рассмотрим случай N = 3. Соответствующая сетка показана на рис. 1, где использована естественная нумерация внутренних узлов. Полые кружки соответствуют граничным узлам, в которых известно значение функции, а сплошные – внутренним.

Если преобразовать конечно-разностное уравнение (1) в матричное уравнение Ax = b, вводя вектор неизвестных по правилу u1,1 = x1, u1,2 = x2, u1,3 = x3, u2,1 = x4,..., u3,3 = x9,

Видно, что A является симметричной ленточной разреженной матрицей с диагональным преобладанием.

В результате нужно отметить, что в целом, матрица A обладает теми же свойствами, что и в случае одномерной, задачи, хотя ее структура может не быть ленточной, что зависит от способа нумерации узлов сетки

Обсудим размерность полученной СЛАУ. Предположим как и ранее, что требуемая точность аппроксимации равна ² = 10⁻⁶. Поскольку ² ∼ h², то требуемый шаг сетки нужно выбрать порядка 10⁻³, т.к.

√ ³ × 10³ = 10⁶. Таh ∼ ². Число узлов здесь оказывается равным 10 кому же числу равно число неизвестных n. Таким образом, мы имеем матрицу размерности 10⁶ × 10⁶.

Нетрудно догадаться, что если рассмотреть, не квадрат, а куб, то число неизвестных будет примерно равно n = 10⁹. В расчетной практике встречаются задачи, где нужно определять не одну функцию, а несколько. Например, в гидродинамике при учете теплопереноса имеем четыре скалярных неизвестных (три компоненты поля скорости и поле температуры). Если рассматривать конечно-разностную аппроксимацию этой задачи с точностью ² = 10⁻⁶, то получим размерность n = 4 · 10⁹.

Рассмотренные выше два примера показывают характерные источники задач линейной алгебры, приводящие к СЛАУ с большими разреженными матрицами. Естественно, что при решении таких СЛАУ необходимо развивать специальные методы вычислительной алгебры.

Рассмотрим другую нумерацию узлов, показанную на рис. 2. Здесь использовано так называемое красно-черное разбиение (или чернобелое). Вначале нумеруются узлы, сумма индексов которых – четное число, а потом узлы, сумма индексов которых дает нечетное число. Таким образом, вектор переменных вводится по правилу вектор неизвестных по правилу

u1,1 = x1, u1,3 = x2, u2,2 = x3, u3,1 = x4, u3,3 = x5

– это красные неизвестные, а

u1,2 = x6, u2,1 = x7, u2,3 = x8, u3,2 = x9

– черные неизвестные.

0 1

Рис. 2: Конечно-разностная сетка. Красно-черное разбиение.

Соответствующая красно-черному разбиению матрица дается формулой

Видно, что A является симметричной блочной (состоящей из четырех блоков) разреженной матрицей с диагональным преобладанием.

ТЕСТ РУБЕЖНОГО КОНТРОЛЯ № 1

1. Если исходная краевая задача порождает самосопряженный оператор, то какого вида матрицу следует ожидать после дискретизации? (выберите один из ответов)

(a) диагональную;

(b) верхнюю треугольную;

(c) трехдиагональную; (d) симметричную.

2. Зависит ли структура матрицы от способа нумерации узлов (выберите один из ответов)

(a) зависит;

(b) не зависит;

(c) не зависит, если оператор краевой задачи самосопряженный; (d) не зависит, если матрица ленточная.

3. Выберите из списка все разреженные матрицы

(a) диагональная;

(b) ленточная;

(c) нижняя треугольная; (d) теплицева.

4. При аппроксимации конечными разностями второго порядка двумерного уравнения Лапласа потребовалась точность 10⁻¹⁰. Каков порядок матрицы соответствующей СЛАУ получится, т.е. размерность n? (выберите один из ответов)

(a) 10⁻¹⁰;

(b) 10¹⁰;

(c) 10⁵;

(d) 10¹⁰⁰.

2 Векторные и матричные нормы

Напомним некоторые основные определения и утверждения из линейной алгебры. В данном пособии мы будем иметь дело с квадратными вещественными матрицами размерности n × n.

2.1 Векторные нормы

Определение 1. Пусть V – векторное пространство над полем F (R или C). Функция k · k: V → R является векторной нормой, если для всех x, y ∈ V выполняются следующие условия:

(1) kxk ≥ 0 (неотрицательность);

(1a) kxk = 0 тогда и только тогда, когда x = 0 (положительность);

(2) kcxk = |c|kxk для всех чисел c ∈ F (абсолютная однородность);

(3) kx + y| ≤ kxk + kyk (неравенство треугольника).

Это привычные свойства евклидовой длины на плоскости. Евклидова длина обладает и другими свойствами, независимыми от приведенных аксиом (например, выполнено тождество параллелограмма). Подобные дополнительные свойства оказываются несущественными для общей теории норм и поэтому не причисляются к аксиомам.

Функцию, для которой выполнены аксиомы (1), (2) и (3), но не обязательно (1а), называют векторной полунормой. Это более общее понятие, чем норма. Некоторые векторы, отличные от нулевого, могут иметь нулевую длину в смысле полунормы.

Определение 2. Пусть V – векторное пространство над полем F (R или C). Функция (x,y): VxV → F является скалярным произведением, если для всех x, y, z ∈ V следующие условия:

(1) (x,x) ≥ 0 (неотрицательность);

(1a) (x,x) = 0 тогда и только тогда, когда x = 0 (положительность);

(2) (x + y,z) = (x,z) + (y,z) (аддитивность); (3) (cx,y) = c(x,y) для всех чисел c ∈ F (однородность);

(4) (x,y) = (y,x) для любых x,y (эрмитовость).

Примеры векторных норм. В конечномерном анализе используются так называемые `_p-нормы

.

Наиболее распространенными являются следующие три нормы

;

(евклидова норма);

Естественно, что существует бесконечно много норм. Например, нормой также является выражение max{kxk₁ + kx||₂} или такое

kxk_T = kTxk,

где T – произвольная невырожденная матрица.

Имеет место теорема, с теоретической точки зрения показывающая достаточность только одной нормы

Теорема 1. В конечномерном пространстве все нормы эквивалентны, т.е. для любых двух норм k · k_α, k · k_β и для любого x выполняется неравенство

kxk_α ≥ C(α,β,n)kxk_β

где C(α,β,n) – некоторая постоянная, зависящая от вида норм и от размерности матрицы n.

Для норм k · k₁, k · k₂, k · k_∞ константа C(α,β,n) определяется таблицей

Проверим выполнение некоторых из неравенств.

Очевидно, что kxk₁ ≤ nkxk_∞. Это следует из неравенства

,

которое получается, если в kxk₁ заменить компоненты на максимальное значение. Неравенство достигается, если x_i = x_max, т.е. все компоненты равны друг другу. Тем самым это неравенство является точным, поскольку иногда становится равенством.

Проверку остальных неравенств оставляем читателю (см. также

[10]).

Несмотря на теоретическую эквивалентность норм, с практической точки зрения норма вектора большой размерности n может отличаться от другой нормы того же вектора в n раз. Поэтому выбор нормы при больших n имеет значение с практической точки зрения.

Геометрические свойства норм k·k₁, k·k₂, k·k_∞ могут быть прояснены в случае R². Графики уравнений kxk₁ = 1, kxk₂ = 1, kxk_∞ = 1 показаны на рис. 3. .

2.2 Матричные нормы

Обозначим пространство квадратных матриц порядка n через M_n.

Определение 3. Функция k·k, действующая из M_n в Rⁿ, называется матричной нормой, если выполнены следующие свойства

Рис. 3: Графики уравнений kxk₁ =1, kxk₂ =1, kxk_∞=1.

1. kAk ≥ 0, kAk = 0 ⇔ A = 0;

2. kλAk = |λ|kAk;

3. kA + Bk ≤ kAk + kBk (неравенство треугольника);

4. kABk ≤ kAkkBk (кольцевое свойство).

Если последнее свойство не выполнено, то такую норму будем называть обобщенной матричной нормой.

Приведем примеры наиболее распространенных матричных норм.

1. – максимальная столбцовая норма;

2. – максимальная строчная норма;

3. kAk_M = n max |a_ij|;

i,j=1..n

4. kAk₂ = max ν_i – спектральная норма. Здесь ν_i – сингулярные i=1..n

числа матрицы A, т.е. ν_i² – собственные числа матрицы AA^T;

5. – евклидова норма;

6. норма.

Как и в случае векторных норм, все матричные нормы эквивалентны. Использование различных норм связано с удобством использования, а также с тем фактом, что матриц большой размерности значения нормы могут отличаться весьма значительно.

2.3 Связь векторных и матричных норм

Выше были даны примеры векторных и матричных норм, введенные независимо друг от друга. Вместе с тем, эти два понятия могут быть связаны при помощи двух понятий.

Определение 4. Матричная норма k · k называется согласованной с векторной нормой k · k, если для любой A ∈ M_n и любого x ∈ V выполняется неравенство

kAxk ≤ kAkkxk.

Заметим, что в этом неравенстве знак нормы относится к разным нормам – векторным и матричной.

Определение 5. Матричная норма называется подчиненной (операторной, индуцированной) соответствующей векторной норме, если она определена равенством

kAk = max kAxk.

kxk=1

Понятие операторной матричной нормы является более сильным, чем подчиненной:

Теорема 2. Операторная норма является подчиненной соответствующей матричной норме.

Доказательство. Действительно, из определения следует,

kAxk ≤ kAkkxk.

Следствие 2.3.1. Операторная норма единичной матрицы равна единице:

kEk = 1. Доказательство. Действительно, kEk = max kExk = 1. kxk=1

Существует ряд утверждений, связывающих введенные матричные и векторные нормы.

1. Матричная норма k · k₁ являются операторной нормой, соответствующей векторной норме k · k₁.

2. Матричная норма k · k_∞ являются операторной нормой, соответствующей векторной норме k · k_∞.

3. Спектральная матричная норма k·k₂ являются операторной нормой, соответствующей евклидовой векторной норме k · k₂.

4. Матричные нормы k·k_E, k·k_M, k·k_`1 не являются операторными.

5. Матричная норма k · k₂ согласована с векторной нормой k · k₂.

6. Матричная норма k·k_M согласована с векторными нормами k·k₁, k · k_∞, k · k₂.

ТЕСТ РУБЕЖНОГО КОНТРОЛЯ № 2

1. Вычислите нормы k · k₁, k · k_∞, k · k_M, k · k_`1 матриц

(a) 

... 0 0

... 0 0 ^

A... 0 0 ^;

.. 

0 0 0−1 2

(b) 

41 0 1 0 0 0 0 0

^ −1 4 −1 0 1 0 0 0 0 ^_

^ 01 4 0 01 0 0 0 ^

^ −1 0 0 4 1 0 −1 0 0 ^

 A =  01 01 0 −1 0 ;

  0 01 0 1 4 0 0 −1 

  0 0 0 1 0 0 4 0 0 



 0 0 0 0 1 0 −1 4 −1  0 0 0 0 0 −1 0 −1 4

(c) 

4 0 0 0 0 −1 −1 0 0

^ 0 4 0 0 0 −1 0 −1 0 ^_

^ 0 0 4 0 0 −1 −1 −1 −1 ^

^ 0 0 0 4 0 0 −1 0 −1 ^

 A =  0 0 0 0 4 0 0 −1 −1 .

  −1 −11 0 0 4 0 0 0 

  −1 01 0 0 4 0 0 



 0 −11 0 1 0 0 4 0 

0 01 0 0 0 4

2. Если матричная норма является согласованной, то можно ли построить соответствующую ей векторную норму, чтобы она стала операторной? (выберите один из ответов)

(a) нельзя;

(b) можно;

(c) можно, если матрица симметрична; (d) можно для евклидовой нормы.

3. Если матричная норма k · k является операторной, то (выберите правильные ответы)

(a) она согласована;

(b) положительна;

(c) kEk = 1;

(d) kEk = n.

4. Операторная норма единичной матрицы равна (выберите один из ответов)

(a) чему угодно;

(b) единице; (c) n;

(d) n².

5. Согласованная норма единичной матрицы равна (выберите один из ответов)

(a) чему угодно;

(b) единице; (c) n;

(d) n².

3 Итерационные методы

3.1 Определения и условия сходимости итерационных методов

Различают прямые и итерационные методы решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Прямые методы получают решение за конечное число шагов, причем, если предположить, что это решение может быть получено в точной арифметике (когда нет ошибок округления), то это решение является точным. Итерационные методы, вообще говоря, всегда дают приближенное решение, для получения точного решения необходимо бесконечное число шагов. Интерес к итерационным методам связан как раз с решением СЛАУ с матрицами большой размерности. Прямые методы для таких матриц не дают требуемой точности. В случае разреженных матриц большой размерности итерационные методы дают заметный выигрыш в точности, быстродействии и экономии памяти.

Определение 6. Итерационный метод дается последовательностью

x(k+1) = G_kx(k) + g_k

или

³ ´

x(k+1) = x(k) + Q−_k 1 b − Ax(k) .

G_k называется матрицей перехода, а Q_k – матрицей расщепления, x⁽⁰⁾ предполагается известным начальным приближением.

Определение 7. Метод называется стационарным, если матрица перехода G_k (матрица расщепления Q_k) и не зависят от номера итерации k.

Далее ограничимся рассмотрением стационарных итерационных методов

x(k+1) = Gx(k) + g, G = E − Q−1A, g = Q−1b. (2)

В результате выполнения итерационного метода по начальному приближению строится последовательность

x(0), x(1), x

Рассмотрим погрешность k-й итерации. Пусть x^(∞) – точное решение исходной задачи, т.е.

Ax(∞) = b.

С другой стороны, x^(∞) должно удовлетворять уравнению

x(∞) = Gx(∞) + g.

Тогда погрешность k-й итерации дается формулой ε_k = x^(k)−x^(∞).

Установим для ε_k итерационую формулу. Имеем соотношения

x(1) = Gx(0) + g, x(2) = Gx(1) + g, x(3) = Gx(2) + g,

x Gx^(k) + g,

...

Вычтем из них уравнение x^(∞) = Gx^(∞) + g. Получим

,

...

Выражая все через погрешность начального приближения ε⁽⁰⁾, получим

,

...

Таким образом, получаем формулу для погрешности на k-й итерации, которой будем пользоваться в дальнейшем:

ε(k) = Gkε(0). (3)

Рассмотрим сходимость итерационного метода (2). Поскольку сходимость метода состоит в том, чтобы погрешность убывала, нужно исследовать сходимость к нулю последовательности ε^(k). Для анализа сходимости нам потребуется понятие спектрального радиуса.

Определение 8. Спектральным радиусом матрицы G называется максимальное по модулю собственное число матрицы G:

ρ(G) = max |λ_i(G)|. i=1...n

Обратим внимание, что в этом определении участвуют все собственные числа, т.е. вещественные и комплексные.

Теорема 3 (Достаточное условие сходимости). Для сходимости итерационного метода достаточно выполнения неравенства

kGk < 1.

Доказательство. Доказательство повторяет доказательство принципа сжимающих отображений, поскольку эта теорема является частным случаем этого принципа.

Отметим, что для сходимости достаточно выполнение неравенства для какой-то одной нормы. Это условие является легко проверяемым, хотя лишь достаточным. Необходимое и достаточное условие сходимости является проверяется более сложным образом и дается следующим утверждением.

Теорема 4 (Необходимое и достаточное условие сходимости). Для сходимости итерационного метода необходимо и достаточно выполнения неравенства

ρ(G) < 1.

Доказательство. Из соображений краткости, ограничимся случаем, когда собственные векторы матрицы G образуют базис в Rⁿ. Это всегда так, например, если G – симметрична. Очевидно, что сходимость итерационного метода эквивалентная сходимости к нулю последовательности {ε^(k)}.

1. Докажем достаточность. Пусть ρ(G) < 1. Рассмотрим произвольное начальное приближение и разложим его по базису собственных векторов

.

Тогда

.

По условиям теоремы все собственные числа по модулю меньше единицы, поэтому c учетом |λ_i|^k| → 0 при k → ∞ (i = 1,2,...,n) выполняются соотношения kε(k)k = kλk1ε(0)1 e1 + ... + λknε(0)n enk ≤

≤ |λ₁|^k|ε⁽⁰⁾₁ | + ... + |λ_n|^k|ε⁽⁰⁾_n | → 0, k → ∞.

2. Докажем необходимость. Пусть итерационный метод сходитсяпри любом начальном приближении. Предположим противное, т.е. что ρ(G) ≥ 1. Это значит, что существует как минимум один собственный вектор e, такой, что Ge = λe c |λ| ≡ ρ(G) ≥ 1. Выберем начальное приближение так: ε⁽⁰⁾ = e. Тогда имеем

ε(k) = Gkε(0) = λke.

Поскольку |λ| ≥ 1, последовательность {ε^(k)} не сходится к нулю при данном начальном приближении, т.к. kε^(k)k = |λ|^k ≥ 1. Полученное противоречие и доказывает необходимость.

Важным свойством итерационного метода является его симметризуемость. В частности, она используется для его ускорения (т.е. модификации, позволяющей достичь той же точности за меньшее число итераций).

Определение 9. Итерационный метод является симметризуемым, если существует такая невырожденная матрица W (матрица симметризации), что W(E − G)W⁻¹ является симметричной и положительно определенной.

Для симметризуемого метода выполняются свойства:

1. собственные числа матрицы перехода G вещественны;

2. наибольшее собственное число матрицы G меньше единицы;

3. множество собственных векторов матрицы перехода G образует базис векторного пространства.

Для симметризуемого метода всегда существует так называемый экстраполированный метод, который сходится всегда, независимо от сходимости исходного метода. Он дается формулой x^(k+1) = G_γx^(k) + g_γ, G_γ = γG + (1 − γ)E, g_γ = γg.

Оптимальное значение параметра γ определяется соотношением

,

где M(G) и m(G) – максимальное и минимальное собственные числа G.

Рассмотрим далее классические итерационные методы.

3.2 Метод простой итерации

Метод простой итерации является простейшим примером итерационных методов. Он дается формулой x^(k+1) = (E − A)x^(k) + b, G = E − A, Q = E.

Сходится при M(A) < 2.

Для симметричной положительно определенной матрицы A) симметризуем и экстраполированный метод имеет вид

x.

3.3 Метод Якоби

Метод Якоби определяется формулой

. (4)

Запишем его в матричных обозначениях (в безиндексном виде). Представим матрицу A в виде

A = D − C_L − C_U,

где D – диагональная матрица, C_L – верхняя треугольная, а C_U – нижняя треугольная. Если A имеет вид

  a11 a12 a13 ... a1n

 a21 a22 a23 ... a2n 

A =  a31 a32 a33 ... a3n ,

 ... ... 

an1 an2 an3 ... ann

то D, C_L и C_U даются формулами

D,

 ... .. 

0 0 0 ... a_nn

   

0 0 0 ... 0 0 a₁₂ a₁₃ ... a_1n

 a21 0 0 ... 0   0 0 a23 ... a2n 

C .

Используя матричные обозначения, формулу метода Якоби можно записать так: x(k+1) = Bx(k) + g,

где матрица перехода B дается формулой

B = D⁻¹(C_U + C_L) = E − D⁻¹A

а g = D⁻¹b.

Достаточным условием сходимости метода Якоби является диагональное преобладание. Если A – положительно определенная симметричная матрица, то метод Якоби симметризуем.

3.4 Метод Гаусса-Зейделя

Запишем последовательность формул метода Якоби более подробно

Если посмотреть внимательно на них, то видно, что при вычислении последних компонент вектора x^(k+1) уже известны предыдущие компоненты x^(k+1), но они не используются. Например, для последней компоненты имеется формула

.

В ней в левой части присутствует n − 1 компонент предыдущей итерации, но к этому моменту уже вычислены компоненты текущей итерации . Естественно их использовать при вычислении . Перепишем эти формулы следующим образом, заменяя в левой части уравнений компоненты x^(k) на уже найденные компоненты x^(k+1):

Эти формулы лежат в основе метода Гаусса–Зейделя:

. (5)

В матричном виде метод Гаусса–Зейделя записывается таким образом:

x(k+1) = Lx(k) + g,

где L = (E − L)⁻¹U, g = (E − L)⁻¹D⁻¹b, L = D⁻¹C_L, U = D⁻¹C_U.

В общем случае метод несимметризуем.

Есть интересный исторический комментарий [Д2]: метод был неизвестен Зейделю, а Гаусс относился к нему достаточно плохо.

Замечание. Хотя для положительно определенных симметричных матриц метод Гаусса-Зейделя сходится почти в два раза быстрее метода Якоби, для матриц общего вида существуют примеры, когда метод Якоби сходится, а метод Гаусса-Зейделя расходится.

3.5 Метод последовательной верхней релаксации (SOR) Дается формулами

Здесь ω – параметр релаксации, ω ∈ [0,2]. При ω > 1 говорят о верхней релаксации, при ω < 1 – о нижней, а при ω = 1 метод SOR сводится к методу Гаусса–Зейделя. Удачный выбор параметра релаксации позволяет на порядки понизить число итераций для достижения требуемой точности.

Матричная форма (6) имеет вид

x(k+1) = L_ωx(k) + g_ω,

где L_ω = (E − ωL)⁻¹(ωU + (1 − ω)E), g_ω = (E − ωL)⁻¹ωD⁻¹b.

В общем случае метод несимметризуем. Сходимость гарантирована для положительно определенной симметричной матрицы.

3.6 Метод симметричной последовательной верхней релаксации (SSOR)

Этот метод по числу итераций сходится в два быстрее, чем предыдущий, но итерации являются более сложными и даются соотношениями

;

1;

Здесь ω – параметр релаксации, ω ∈ [0,2].

Если A – положительно определенная симметричная матрица, то метод SSOR симметризуем.

Упражнение. Найдите матрицу перехода.

ТЕСТ РУБЕЖНОГО КОНТРОЛЯ № 2

1. Проверьте сходимость предыдущих методов для матриц

(a)

A ;

0 0 0

(b) 

41 0 −1 0 0 0 0 0

 −1 4 −1 0 −1 0 0 0 0



 01 4 0 01 0 0 0



 −1 0 0 4 −1 0





A =  01 0 −1 41 0 ;



0 0 4 0 0 −1 −1 −1 −1 ^ 0 0 0 4 0 0 −1 0 −1 ^



A 0 0 0 0 4 0 0 −1 −1 .



−1 −1 0 0 4 0 0 0 



1 0 −1 −1 0 0 4 0 0 



−1 −1 0 −1 0 0 4 0 

0 0 −1 −1 −1 0 0 0 4

2. A является симметричной и положительно определенной. Какие из методов являются симметризуемыми?

(a) простой итерации;

(b) Якоби;

(c) Гаусса–Зейделя;

(d) SOR;

(e) SSOR.

3. Необходимым и достаточным условием сходимости итерационного метода является

(a) положительная определенность матрицы перехода G;

(b) симметричность матрицы перехода G;

(c) неравенство kGk < 1;

(d) неравенство ρ(G) < 1.

4. Матрица симметризации – это

(a) симметричная матрица;

(b) единичная матрица;

(c) такая матрица W, что W(E−G)W⁻¹ – положительно определенная и симметричная матрица;

(d) такая матрица W, что W(G−E)W⁻¹ – положительно определенная и симметричная матрица.

5. При ω = 1 метод SOR переходит в метод (выберите один из ответов)

(a) Якоби;

(b) SSOR;

(c) простой итерации; (d) Гаусса–Зейделя.

6. Параметр релаксации ω лежит в диапазоне (выберите один из ответов)

(a) [0,1];

(b) [0,2]; (c) (0,2);

(d) [−1,1].

4 Методы подпространств Крылова

4.1 Инвариантные подпространства

Для понижения размерности исходной задачи воспользуемся понятием инвариантного подпространства.

Определение 10. Подпространство L инвариантно относительно матрицы A, если для любого вектора x из L вектор Ax также принадлежит L.

Примером инвариантного подпространства, является подпространство, образованное линейными комбинациями нескольких собственных векторов A.

Предположим, что нам известен базис L, образованный векторами q₁, q₂, ..., q_m, m ≤ n. Образуем из этих векторов матрицу Q = [q₁,q₂,...,q_m] размерности n×m. Вычислим AQ. Это матрица также размерности n×m, причем ее столбцы есть линейные комбинации q₁, q₂, ... q_m. Другими словами, столбцы AQ принадлежат инвариантному подпространству L. Указанные столбцы удобно записать в виде

QC, где C – квадратная матрица размерности m×m. Действительно,

AQ = A[q₁,q₂,...q_m].

Вектор Aq_i ∈ L, следовательно, Aq_i представим в виде линейной комбинации q₁, q₂, ... q_m:

Aq_i = c_i1q₁ + c_i2q₂ + ... + c_imq_m, i = 1,...,m.

Таким образом, выполняется равенство

AQ = QC. (8)

Матрица C называется сужением A на подпространстве L. Более наглядно (8) можно представить в виде

n m m m

C m

n

Рассмотрим случай, когда q₁, q₂, ..., q_m – ортонормированы. Тогда

Q^TQ = E_m,

где E_m – единичная матрица размерности m×m. Из (8) вытекает, что

C = Q^TAQ.

Рассмотрим решение СЛАУ

Cy = d,

где d ∈ R^m. Умножая это уравнение на Q слева получим, что

QCy = AQy = Qd.

То есть вектор Qy является решением исходной задачи, если b = Qd. Таким образом, знание инвариантного подпространства позволяет свести решение СЛАУ для матрицы A к двум СЛАУ меньшей размерности, которые могут быть решены независимо друг от друга. Проблема состоит в том, что априори инвариантные подпространства матрицы A неизвестны. Вместо инвариантных подпространств можно использовать “почти” инвариантные подпространства, например, подпространства Крылова.

4.2 Степенная последовательность и подпространства Крылова

Определение 11. Подпространством Крылова K_m(b) называется подпространство, образованное всеми линейными комбинациями векторов степенной последовательности

b, Ab, A²b, ..., A^m−1b,

то есть линейная оболочка, натянутая на эти векторы

K_m(b) = span(b, Ab, A²b, ..., A^m−1b).

Рассмотрим свойства степенной последовательности

b, Ab, A²b, A³b,...A^kb,...,

где b – некоторый произвольный ненулевой вектор.

Рассмотрим случай, когда A – симметричная матрица. Следовательно, ее собственные векторы e_k образуют базис в Rⁿ. Соответствующие собственные числа A обозначим через λ_k:

Ae_k = λ_ke_k.

Для определенности примем, что λ_k упорядочены по убыванию:

|λ₁| ≥ |λ₂| ≥ ... ≥ |λ_n|.

Произвольный вектор b можно представить в виде разложения по e_k:

b = b₁e₁ + b₂e₂ + ... + b_ne_n.

Имеют место формулы:

b = b₁e₁ + b₂e₂ + ... + b_ne_n,

Ab = λ₁b₁e₁ + λ₂b₂e₂ + ... + λ_nb_ne_n, A,

...

A,

...

Сделаем дополнительное предположение. Пусть |λ₁| > |λ₂|. Другими словами, λ₁ – максимальное собственное число по модулю: λ₁ = λ_max. Тогда A^kb можно записать следующим образом:

A . (9)

Поскольку все , то если b₁ 6= 0, то все слагаемые в скобках в уравнении (9) кроме первого будут убывать при k → ∞:

при k → ∞.

Кроме того, также выполняется соотношение

||A^kb|| → |λ₁|^k|b₁| при k → ∞.

Таким образом, при возрастании k члены степенной последовательности поворачиваются таким образом, что оказываются параллельными собственному вектору e_max ≡ e₁, соответствующему максимальному по модулю собственному значению λ_max.

4.3 Итерационные методы подпространств Крылова

Подпространства Крылова обладают замечательным свойством: если A – симметрична и если последовательно строить ортонормированный базис в K_m(b) m = 1,2,...n, то вектора базиса для K_n(b) образуют такую ортогональную матрицу Q, что выполняется равенство

Q^TAQ = T, (10)

где T является трехдиагональной матрицей

  α₁ β₁ 0 ··· 0

 β1 α2 β2 ... 

T =  0... β1 α3 ... 

... ... β_n−1 

0 ··· βn−1 αn

Если A – несимметричная матрица, то вместо (10) получаем

Q^TAQ = H, (11)

где H – матрица в верхней форме Хессенберга, т.е. имеет структуру

(крестиком помечены ненулевые элементы).

Ясно, что если построено представление (10) или (11), то решение СЛАУ Ax = b можно провести в три шага. Например, если выполнено

(10), то решение Ax = b эквивалентно трем СЛАУ

причем системы (12) и (14) решаются элементарно, поскольку обратная к ортогональной матрице Q является транспонированная Q^T. Система (13) также решается гораздо проще исходной, поскольку T – трехдиагональная матрица, для которых развиты быстрые и эффективные методы решения СЛАУ.

Рассмотрим алгоритм, приводящий симметричную матрицу A к трехдиагональному виду.

Алгоритм Ланцоша. v = 0; β₀ = 1; j = 0;

while β_j 6= 0 if j 6= 0

for i = 1..n

t = w_i; w_i = v_i/β_j; v_i = −β_jt end

end

v = +Aw

j = j + 1; α_j = (w,v); v = v − α_jw; β_j := kvk₂ end

Для приведения матрицы к трехдиагональному виду нужна только процедура умножения матрицы на вектор и процедура скалярного произведения. Это позволяет не хранить матрицу как двумерный массив.

Алгоритм Ланцоша может быть обобщен на случай несимметричных матриц. Здесь матрица A приводится к верхней форме Хессенберга H. Компоненты H обозначим через h_i,j, h_i,j = 0 при i < j − 1.

Соответствующий алгоритм носит названия алгоритма Арнольди.

Алгоритм Арнольди. r = q₁; β = 1; j = 0;

while β 6= 0

hj+1,i = β; qj+1 = rj/β; j = j + 1 w = Aq_j; r = w for i = 1..j

h_ij = (q_i,w); r = r − h_ijq_i

end

β = krk₂ if j < n

hj+1,j = β

end

end

Определенным недостатком алгоритмов Ланцоша и Арнольди является потеря ортогональности Q в процессе вычислений. СУществет ряд реализаций этих алгоритмов, преодолевающих этот недостаток, и делающих эти методы весьма эффективными для решения СЛАУ с большими разреженными матрицами.

ТЕСТ РУБЕЖНОГО КОНТРОЛЯ № 4

1. Что такое инвариантное подпространство? (выберите один из ответов)

(a) линейная оболочка, натянутая на столбцы матрицы A;

(b) подпространство, не изменяющееся при действии на него матрицы A;

(c) нульмерное-подпространство; (d) подпространство Крылова.

2. Что такое степенная последовательность? (выберите один из ответов)

(a) последовательность E, A, A², A³, ...;

(b) последовательность b, Ab, A²b, A³b, ...;

(c) последовательность 1, x, x², x³, ...; (d) последовательность 1, 2, 4, 8, ....

3. Недостатком метода Ланцоша является (выберите один из ответов)

(a) медленная сходимость;

(b) потеря ортогонализации;

(c) невозможность вычисления собственных векторов; (d) необходимость вычисления степеней.

4. В методе Ланцоша используются

(a) подпространства Крылова;

(b) линейная оболочка, натянутая на столбцы матрицы A;

(c) подпространство, образованное собственными векторами матрицы A;

(d) подпространство, образованное собственными векторами матрицы Q^TAQ.

5. Метод Ланцоша приводит матрицу к

(a) диагональной;

(b) трехдиагональной;

(c) верхней треугольной;

(d) верхней треугольной в форме Хессенберга.

6. Метод Ланцоша применим для матриц

(a) диагональных;

(b) трехдиагональных;

(c) симметричных; (d) произвольных.

7. Метод Арнольди приводит матрицу к

(a) диагональной;

(b) трехдиагональной;

(c) верхней треугольной;

(d) верхней треугольной в форме Хессенберга.

8. Метод Арнольди применим для матриц

(a) диагональных;

(b) трехдиагональных;

(c) симметричных; (d) произвольных.

Заключение

Выше дано описание некоторых методов решения систем линейных алгебраических уравнений для симметричных разреженных матриц большой размерности.

При написании данного пособия в основном использовались материалы [3, 4, 7, 9, 10]. Более подробные сведения о можно получить в приведенной ниже основной и дополнительной литературе.

ЛИТЕРАТУРА

[1] В. В. Воеводин. Вычислительные основы линейной алгебры. М.: Наука, 1977. 304 с.

[2] В. В. Воеводин, Ю. А. Кузнецов. Матрицы и вычисления. М.: Наука, 1984. 320 с.

[3] Дж. Голуб, Ч. Ван Лоун. Матричные вычисления. М.: Мир, 1999. 548 с.

[4] Дж. Деммель. Вычислительная линейная алгебра. Теория и приложения. М.: Мир, 2001. 430 с.

[5] Х. Д. Икрамов. Численные методы для симметричных линейных систем. М.: Наука, 1988. 160 с.

[6] Б. Парлетт. Симметричная проблема собственных значений. Численные методы. М.: Мир, 1983. 384 с.

[7] C. Писсанецки. Технология разреженных матриц. М.: Мир, 1988. 410 с.

[8] Дж. Х. Уилкинсон. Алгебраическая проблема собственных значений. М.: Наука, 1970. 564 с.

[9] Л. Хейнгеман, Д. Янг. Прикладные итерационные методы. М.: Мир, 1986. 448 с.

[10] Р. Хорн, Ч. Джонсон. Матричный анализ. М.: Мир, 1989. 655 с.

ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА

[Д1] Х. Д. Икрамов. Несимметричная проблема собственных значений. М.: Наука, 1991. 240 с.

[Д2] Дж. Райс. Матричные вычисления и математическое обеспечение. М.: Мир, 1984. 264 с.

[Д3] Y. Saad. Numerical Methods for Large Eigenvalue Problems. Halsted Press: Manchester, 1992. 347 p.

[Д4] Дж. Форсайт, К. Молер. Численное решение систем линейных алгебраических уравнений. М.: Мир, 1969. 167 с.