это быстро и бесплатно
Оформите заказ сейчас и получите скидку 100 руб.!
Ознакомительный фрагмент работы:
С.К. Соболев
Матричный способ решения СЛАУ, формулы Крамера, свойство присоединенной матрицы и основное свойство линейной зависимости.
Рассмотрим систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), содержащую
т уравнений и п неизвестных:
(1)
Пусть
– матрица коэффициентов при неизвестных, столбец свободных членов (чисел стоящих справа от равенства в системе (1)) и столбец неизвестных соответственно системы (1). Матрица А называется основной матрицей системы (1). Тогда очевидно, что система (1) может быть кратко записана в матричной форме. Форма (1) называется координатной записью системы.Если , т.е. число уравнений равно числу неизвестных, то СЛАУ называется «квадратной», она принимает вид:
(2)
Если же матрица А к тому же не вырождена, т.е. , то тогда СЛАУ (2) можно решить как матричное уравнение по формуле
. (3)
Этот метод называется матричным способом решения СЛАУ (2).
Пример. Решить систему матричным способом, если это возможно:
Решение. Запишем эту систему как матричное уравнение , где
, . Вычисляем: , следовательно, матричный способ применим. Находим обратную матрицу:
Следовательно,
.
Ответ:
Формулы Крамера для решения СЛАУ
Эти формулы применимы для решения СЛАУ при тех же условиях, что и матричный способ, а именно, когда матрица А коэффициентов при неизвестных этой СЛАУ квадратная и не вырожденная. Для нахождения неизвестных квадратной системы (2) надо вычислить главный определитель , убедиться что , и затем вычислить п вспомогательных определителей , где определитель () получается из главного определителя заменой в нем k-го столбца на столбец В свободных членов:
Тогда решением системы (2) будет: .
Вывод формул Крамера. Распишем подробно формулу (3) .
Вспомним, что , где – алгебраическое дополнение элемента , равное , а – определитель порядка , полученный из главного определителя D вычеркиванием i-й строки и j-го столбца. Получим
.
Итак, матричный способ дает формулу
(4)
Сравним эту формулу с выражением для , полученным по формуле Крамера:
. (5)
Заметим, что у всех элементов k-го столбца этого определителя алгебраические дополнения точно такие же, как и у элементов k-го столбца матрицы А. Поэтому, разложив определитель в (5) по этому столбцу, получим:
. (6)
Полученная формула (6) в точности совпадает с (4). Формулы Крамера доказаны.
Пример. Решить систему методом Крамера, если это возможно:
Решение. Вычислим главный определитель системы: , следовательно, метод Крамера применим. Далее вычислим три вспомогательных определителя:
Следовательно, .
Дополнение 1. При выводе на лекции в ауд. 220 формулы для обратной матрицы через алгебраические дополнения использовалось основное свойство присоединенной матрицы
.
Доказательство этого свойства, в свою очередь, опиралось на два свойства определителя:
(1) Сумма произведений элементов произвольной строки квадратной матрицы на соответствующие алгебраические дополнения этой же строки равна определителю этой матрицы (и аналогично для столбцов):
(разложение по i-й строке),
(разложение по j-му столбцу)
(2) Сумма произведений элементов произвольной строки квадратной матрицы на соответствующие алгебраические дополнения другой строки равна нулю (и аналогично для столбцов):
, (для строк, при ),
(для столбцов, при )
Свойство (1) нам известно из общих свойств определителя, которые у нас идут без доказательства. Среди этих свойств есть, в частности, такое:
если в определителе две строки или два столбца совпадают, то он равен нулю.
Теперь докажем свойство (2). Заменим в определителе
j- строку на строку с номером i. Понятно что после этого у полученного определителя две одинаковые строки, и потому он равен нулю. Заметим также, что алгебраические дополнения изменённой j-й строки не изменились, т.к. они не зависят от элементов этой строки. Разложим определитель по j-й строке, получим:
Аналогично доказывается для столбцов.
Дополнение 2. Относительно линейной зависимости векторов теории линейного пространства, просьба не путать:
Общий критерий линейной зависимости векторов произвольного линейного пространства: Совокупность векторов линейно зависима тогда и только тогда, когда один из векторов выражается в виде линейной комбинации остальных.
Основное свойство линейной зависимости: Пусть даны n векторов линейного пространства , и еще какие-то т векторов этого же пространства, каждый из которых линейно выражается через , причем, . Тогда векторы линейно зависимы.
Доказательство этого свойства есть в лекциях, присланных на вашу Почту.
Сделайте индивидуальный заказ на нашем сервисе. Там эксперты помогают с учебой без посредников Разместите задание – сайт бесплатно отправит его исполнителя, и они предложат цены.
Цены ниже, чем в агентствах и у конкурентов
Вы работаете с экспертами напрямую. Поэтому стоимость работ приятно вас удивит
Бесплатные доработки и консультации
Исполнитель внесет нужные правки в работу по вашему требованию без доплат. Корректировки в максимально короткие сроки
Гарантируем возврат
Если работа вас не устроит – мы вернем 100% суммы заказа
Техподдержка 7 дней в неделю
Наши менеджеры всегда на связи и оперативно решат любую проблему
Строгий отбор экспертов
К работе допускаются только проверенные специалисты с высшим образованием. Проверяем диплом на оценки «хорошо» и «отлично»
Работы выполняют эксперты в своём деле. Они ценят свою репутацию, поэтому результат выполненной работы гарантирован
Ежедневно эксперты готовы работать над 1000 заданиями. Контролируйте процесс написания работы в режиме онлайн
Расчет показателей надежности системы электроснабжения
Решение задач, Надежность электроснабжения
Срок сдачи к 26 апр.
Ответить на 10 вопросов по физике за одиннадцатый класс, фоксфорд
Тест дистанционно, Физика
Срок сдачи к 25 апр.
Получение водорода из синтез газа из твёрдых горючих ископаемых
Презентация, Технология синтетических жидких топлив
Срок сдачи к 26 апр.
Заполните форму и узнайте цену на индивидуальную работу!