Всё сдал! - помощь студентам онлайн Всё сдал! - помощь студентам онлайн

Реальная база готовых
студенческих работ

pencil
Узнай стоимость на индивидуальную работу!
icon Цены в 2-3 раза ниже
icon Мы работаем
7 дней в неделю
icon Только проверенные эксперты

Матричная форма формулы Крамера

Тип Реферат
Предмет Математика
Просмотров
353
Скачиваний
324
Размер файла
105 б
Поделиться

Матричная форма формулы Крамера

С.К. Соболев

Матричный способ решения СЛАУ, формулы Крамера, свойство присоединенной матрицы и основное свойство линейной зависимости.

Рассмотрим систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), содержащую
т уравнений и п неизвестных:

(1)

Пусть

– матрица коэффициентов при неизвестных, столбец свободных членов (чисел стоящих справа от равенства в системе (1)) и столбец неизвестных соответственно системы (1). Матрица А называется основной матрицей системы (1). Тогда очевидно, что система (1) может быть кратко записана в матричной форме. Форма (1) называется координатной записью системы.Если , т.е. число уравнений равно числу неизвестных, то СЛАУ называется «квадратной», она принимает вид:

(2)

Если же матрица А к тому же не вырождена, т.е. , то тогда СЛАУ (2) можно решить как матричное уравнение по формуле

. (3)

Этот метод называется матричным способом решения СЛАУ (2).

Пример. Решить систему матричным способом, если это возможно:

Решение. Запишем эту систему как матричное уравнение , где
, . Вычисляем: , следовательно, матричный способ применим. Находим обратную матрицу:

Следовательно,
.

Ответ:

Формулы Крамера для решения СЛАУ

Эти формулы применимы для решения СЛАУ при тех же условиях, что и матричный способ, а именно, когда матрица А коэффициентов при неизвестных этой СЛАУ квадратная и не вырожденная. Для нахождения неизвестных квадратной системы (2) надо вычислить главный определитель , убедиться что , и затем вычислить п вспомогательных определителей , где определитель () получается из главного определителя заменой в нем k-го столбца на столбец В свободных членов:

Тогда решением системы (2) будет: .

Вывод формул Крамера. Распишем подробно формулу (3) .

Вспомним, что , где – алгебраическое дополнение элемента , равное , а – определитель порядка , полученный из главного определителя D вычеркиванием i-й строки и j-го столбца. Получим

.

Итак, матричный способ дает формулу

(4)

Сравним эту формулу с выражением для , полученным по формуле Крамера:

. (5)

Заметим, что у всех элементов k-го столбца этого определителя алгебраические дополнения точно такие же, как и у элементов k-го столбца матрицы А. Поэтому, разложив определитель в (5) по этому столбцу, получим:

. (6)

Полученная формула (6) в точности совпадает с (4). Формулы Крамера доказаны.

Пример. Решить систему методом Крамера, если это возможно:

Решение. Вычислим главный определитель системы: , следовательно, метод Крамера применим. Далее вычислим три вспомогательных определителя:

Следовательно, .

Дополнение 1. При выводе на лекции в ауд. 220 формулы для обратной матрицы через алгебраические дополнения использовалось основное свойство присоединенной матрицы

.

Доказательство этого свойства, в свою очередь, опиралось на два свойства определителя:

(1) Сумма произведений элементов произвольной строки квадратной матрицы на соответствующие алгебраические дополнения этой же строки равна определителю этой матрицы (и аналогично для столбцов):
(разложение по i-й строке),
(разложение по j-му столбцу)

(2) Сумма произведений элементов произвольной строки квадратной матрицы на соответствующие алгебраические дополнения другой строки равна нулю (и аналогично для столбцов):
, (для строк, при ),
(для столбцов, при )

Свойство (1) нам известно из общих свойств определителя, которые у нас идут без доказательства. Среди этих свойств есть, в частности, такое:
если в определителе две строки или два столбца совпадают, то он равен нулю.

Теперь докажем свойство (2). Заменим в определителе
j- строку на строку с номером i. Понятно что после этого у полученного определителя две одинаковые строки, и потому он равен нулю. Заметим также, что алгебраические дополнения изменённой j-й строки не изменились, т.к. они не зависят от элементов этой строки. Разложим определитель по j-й строке, получим:

Аналогично доказывается для столбцов.

Дополнение 2. Относительно линейной зависимости векторов теории линейного пространства, просьба не путать:

Общий критерий линейной зависимости векторов произвольного линейного пространства: Совокупность векторов линейно зависима тогда и только тогда, когда один из векторов выражается в виде линейной комбинации остальных.

Основное свойство линейной зависимости: Пусть даны n векторов линейного пространства , и еще какие-то т векторов этого же пространства, каждый из которых линейно выражается через , причем, . Тогда векторы линейно зависимы.

Доказательство этого свойства есть в лекциях, присланных на вашу Почту.


Нет нужной работы в каталоге?

Сделайте индивидуальный заказ на нашем сервисе. Там эксперты помогают с учебой без посредников Разместите задание – сайт бесплатно отправит его исполнителя, и они предложат цены.

Цены ниже, чем в агентствах и у конкурентов

Вы работаете с экспертами напрямую. Поэтому стоимость работ приятно вас удивит

Бесплатные доработки и консультации

Исполнитель внесет нужные правки в работу по вашему требованию без доплат. Корректировки в максимально короткие сроки

Гарантируем возврат

Если работа вас не устроит – мы вернем 100% суммы заказа

Техподдержка 7 дней в неделю

Наши менеджеры всегда на связи и оперативно решат любую проблему

Строгий отбор экспертов

К работе допускаются только проверенные специалисты с высшим образованием. Проверяем диплом на оценки «хорошо» и «отлично»

1 000 +
Новых работ ежедневно
computer

Требуются доработки?
Они включены в стоимость работы

Работы выполняют эксперты в своём деле. Они ценят свою репутацию, поэтому результат выполненной работы гарантирован

avatar
Экономика
Маркетинг
Информатика
icon
110132
рейтинг
icon
2709
работ сдано
icon
1239
отзывов
avatar
Математика
Физика
История
icon
103841
рейтинг
icon
5283
работ сдано
icon
2380
отзывов
avatar
Химия
Экономика
Биология
icon
74482
рейтинг
icon
1859
работ сдано
icon
1174
отзывов
avatar
Высшая математика
Информатика
Геодезия
icon
62710
рейтинг
icon
1046
работ сдано
icon
598
отзывов
Отзывы студентов о нашей работе
48 897 оценок star star star star star
среднее 4.9 из 5
СИБИТ
Написан реферат по предмету "Бухгалтерский учет и анализ. Работа зачтена, спасибо исполнит...
star star star star star
педагогический колледж
Работа выполнена раньше срока, без замечаний. Я осталась довольна. Спасибо.
star star star star star
Московский Университет имени С.Ю. Витте
Спасибо исполнителю за работу, как всегда выполнена досрочно, без замечаний, из 100 баллов...
star star star star star

Последние размещённые задания

Ежедневно эксперты готовы работать над 1000 заданиями. Контролируйте процесс написания работы в режиме онлайн

Интеллектуальная собственность, менеджмент решение задания

Решение задач, Интеллектуальная собственность, менеджмент

Срок сдачи к 10 дек.

только что

8.3 - составить уравнение плоскости которая проходит через линию...

Решение задач, Математика

Срок сдачи к 8 дек.

только что

"Феномен массовой литературы"

Курсовая, Литература

Срок сдачи к 16 дек.

только что

Интеллектуальная собственность, менеджмент решение задания

Решение задач, Интеллектуальная собственность, менеджмент

Срок сдачи к 10 дек.

только что

Решение задач

Контрольная, электротехника и электроника

Срок сдачи к 11 дек.

1 минуту назад

Решить 4 задачи по физике

Решение задач, Физика

Срок сдачи к 11 дек.

1 минуту назад

Интеллектуальная собственность, менеджмент решение задания

Решение задач, Интеллектуальная собственность, менеджмент

Срок сдачи к 10 дек.

1 минуту назад

Чертеж

Чертеж, Информационные технологии

Срок сдачи к 11 дек.

1 минуту назад

Сделать 2 чертежа

Контрольная, Основы компьютерной графики

Срок сдачи к 9 дек.

2 минуты назад

Интеллектуальная собственность, менеджмент решение задания

Решение задач, Интеллектуальная собственность, менеджмент

Срок сдачи к 10 дек.

2 минуты назад

Оценка инестиционнои? деятеьности

Отчет по практике, Менеджмент

Срок сдачи к 11 дек.

2 минуты назад

Сделать курсовую

Курсовая, Устройства генерации и формирования сигналов

Срок сдачи к 14 дек.

2 минуты назад

Решить 4 задачи

Решение задач, Математика

Срок сдачи к 8 дек.

3 минуты назад

РГР, Государственное и муниципальное управление

Контрольная, государственное и муниципальное управление

Срок сдачи к 12 дек.

3 минуты назад

Интеллектуальная собственность, менеджмент, решение задач

Решение задач, Интеллектуальная собственность, менеджмент

Срок сдачи к 10 дек.

3 минуты назад

Информационные технологиии как инструмент проведения межпредметных...

Курсовая, Методика информатики

Срок сдачи к 11 дек.

3 минуты назад

Задача

Контрольная, туризм

Срок сдачи к 13 дек.

3 минуты назад
planes planes
Закажи индивидуальную работу за 1 минуту!

Размещенные на сайт контрольные, курсовые и иные категории работ (далее — Работы) и их содержимое предназначены исключительно для ознакомления, без целей коммерческого использования. Все права в отношении Работ и их содержимого принадлежат их законным правообладателям. Любое их использование возможно лишь с согласия законных правообладателей. Администрация сайта не несет ответственности за возможный вред и/или убытки, возникшие в связи с использованием Работ и их содержимого.

«Всё сдал!» — безопасный онлайн-сервис с проверенными экспертами

Используя «Свежую базу РГСР», вы принимаете пользовательское соглашение
и политику обработки персональных данных
Сайт работает по московскому времени:

Вход или
регистрация
Регистрация или
Не нашли, что искали?

Заполните форму и узнайте цену на индивидуальную работу!

Файлы (при наличии)

    это быстро и бесплатно