Всё сдал! - помощь студентам онлайн Всё сдал! - помощь студентам онлайн

Реальная база готовых
студенческих работ

pencil
Узнай стоимость на индивидуальную работу!
icon Цены в 2-3 раза ниже
icon Мы работаем
7 дней в неделю
icon Только проверенные эксперты

Вычисление радиальных функций Матье-Ханкеля

Тип Реферат
Предмет Математика
Просмотров
1478
Скачиваний
156
Размер файла
205 б
Поделиться

Вычисление радиальных функций Матье-Ханкеля

Вычисление радиальных функций матье-ханкеля

Н.И. Волвенко, V курс, Институт математики и компьютерных наук ДВГУ, Т.В. Пак – научный руководитель, доцент, к.ф.-м.н., и.о. зав. кафедрой КТ

Функции Матье, в отличие от широко известных специальных функций, таких как полиномы Лежандра, функции Бесселя и Неймана, изучены ещё недостаточно полно. Почти все используемые методы расчёта связаны с разложением в ряды по более простым цилиндрическим и т.п. функциям. Недостаток таких методов в том, что они достаточно громоздки и имеют ограниченную применимость.

Функции Матье возникают при разделении переменных в уравнении Гельмгольца:

, (1)

где - некоторая вещественная положительная константа и - оператор Лапласа.

Эллиптические координаты , допускающие разделение переменных связаны с декартовыми: ,.

Полагая в методе разделения переменных, получаем уравнения:

, ,

где - константа разделения. Эти уравнения являются вариантами уравнений Матье.

Дифференциальное уравнения Матье имеет вид

, (2)

где обычно переменная имеет вещественное значение, а - заданный вещественный ненулевой параметр.

Собственные значения и граничные условия

(3)

соответствуют чётным функциям Матье , а собственные значения и граничные условия

(4)

нечётным функциям Матье

В силу свойств симметрии уравнение (2) имеет 4 типа периодических решений, называемых функциями Матье 1-ого рода: чётную π-периодическую, чётную 2π-периодическую, нечётную 2π-периодическую, нечётную π-периодическую функции, которые чаще всего обозначаются таким образом: , , , .

Собственные значения , отвечающие функциям , , , , обозначаются через , , , .

Модифицированное уравнение Матье

(5)

получается из уравнения Матье (2) подстановкой . В зависимости от того, будет в (5) или , это уравнение имеет либо решение , либо решение , которые являются соответственно чётной и нечётной функциями от ξ.

Функции, являющиеся решениями уравнения (5), называются радиальными функциями Матье (РФМ).

Различают РФМ 1, 2, 3 и 4 рода: , , , .

Вычисление функций Матье I рода

Радиальные функции Матье первого рода являются решениями ОДУ второго порядка

, (6)

удовлетворяющие в нуле условию

, если (7)

, если

И на бесконечности условию

~, (8)

где - задано, а () - собственные значения задачи (2), (3), (4),

Параметр используются для различия случаев использования чётного или нечётного номера собственного значения для π и 2π периодических собственных функций:

Для решения задачи (6)-(8) используем модификацию метода фазовых функций.

Введём замену переменных:

(9)

(10)

Здесь - "масштабирующая" функция, положительная на , удовлетворяющая условию при , её выбор находится в нашем распоряжении.

Подставляя (9), (10) в исходное уравнение (6) задачи для и :

(11)

(12)

где и .

Для совместного решения задач Коши для и используется следующий приём. Функцию ищем в точках . На каждом из отрезков вспомогательные функции находятся, как решение задач Коши

(13)

где .

Поскольку для любых решений и , уравнений (12) и (13) справедливо соотношение , получаем рекуррентные формулы «назад» для вычисления , ,


, , (14)

причём .

Итак, краткий алгоритм решения задачи (6)-(8) состоит в следующем:

1. Решаются совместно задачи Коши (11), (12) запоминая в точках разбиения отрезка величины , , ;

2. Полагая , по формуле (14) вычисляем , ;

3. По формуле (10) вычисляем функции , ;

4. Из (9) и (10) получаем выражение для производной функции

.

В качестве сглаживающей функции предлагается следующая функция

, где .

Вычисление функций Матье III рода

Волновая радиальная функция Матье-Ханкеля третьего рода является решением обыкновенного дифференциального уравнения второго ворядка на полубесконечном интервале:

,. (15)

Условие на бесконечности

~, . (16)

Для уравнения (15) условие (16) эквивалентно условию:

,

и при достаточно больших линейному соотношению:

, .

(17)

Решение задачи (17) существует, единственно и при достаточно больших представимо асимптотическим рядом .

Рассмотрим алгоритм нахождения функций . Для их вычисления нужно перенести граничное условие

,

где , справа налево от точки до точки .

Воспользуемся вариантом ортогональной дифференциальной прогонки.

По всему отрезку переносим соотношение

,

потребовав выполнение условия для всех , , где и удовлетворяют системе дифференциальных уравнений 1-ого порядка

.

Функции Матье 3-его рода ищем по формуле:

,

где .

Функции Матье 2-ого рода вычисляются по формуле:

.

функция матье дифференциальное уравнение

Описанные алгоритмы вычисления радиальных функций эллиптического цилиндра опробованы в широком диапазоне изменения параметров. Точность результатов определяется точностью используемого метода Рунге-Кутта для решения соответствующих задач Коши.

Литература

1. Абрамов А.А., Дышко А.Л., Пак Т.В. и др. Численные методы решения задач на собственные значения для систем обыкновенных дифференциальных уравнений с особенностями. – Третья конференция по дифференциальным уравнениям и приложениям. – Тезисы докладов. Руссе, Болгария, 1985. – с.4.

2. Миллер У. мл. Симметрия и разделение переменных / Пер. с англ. – М.: Мир, 1981. – 342 с.

3. Справочник по специальным функциям с формулами, графиками таблицами. / Под редакцией М. Абрамовица, И. Стигана. – М. – 1979. – 832 с.:ил.


Нет нужной работы в каталоге?

Сделайте индивидуальный заказ на нашем сервисе. Там эксперты помогают с учебой без посредников Разместите задание – сайт бесплатно отправит его исполнителя, и они предложат цены.

Цены ниже, чем в агентствах и у конкурентов

Вы работаете с экспертами напрямую. Поэтому стоимость работ приятно вас удивит

Бесплатные доработки и консультации

Исполнитель внесет нужные правки в работу по вашему требованию без доплат. Корректировки в максимально короткие сроки

Гарантируем возврат

Если работа вас не устроит – мы вернем 100% суммы заказа

Техподдержка 7 дней в неделю

Наши менеджеры всегда на связи и оперативно решат любую проблему

Строгий отбор экспертов

К работе допускаются только проверенные специалисты с высшим образованием. Проверяем диплом на оценки «хорошо» и «отлично»

1 000 +
Новых работ ежедневно
computer

Требуются доработки?
Они включены в стоимость работы

Работы выполняют эксперты в своём деле. Они ценят свою репутацию, поэтому результат выполненной работы гарантирован

avatar
Экономика
Маркетинг
Информатика
icon
109993
рейтинг
icon
2705
работ сдано
icon
1238
отзывов
avatar
Математика
Физика
История
icon
103781
рейтинг
icon
5281
работ сдано
icon
2378
отзывов
avatar
Химия
Экономика
Биология
icon
74482
рейтинг
icon
1858
работ сдано
icon
1172
отзывов
avatar
Высшая математика
Информатика
Геодезия
icon
62710
рейтинг
icon
1046
работ сдано
icon
598
отзывов
Отзывы студентов о нашей работе
48 894 оценки star star star star star
среднее 4.9 из 5
Московский Университет имени С.Ю. Витте
Спасибо большое исполнителю. Работы принимаются без замечаний, всегда выполняются вовремя....
star star star star star
Пермский национальный исследовательский политехнический университет
Работа выполнена задолго досрочно! Никаких замечаний и недочетов! Спасибо большое Ирине!
star star star star star
НГТУ
Отличный исполнитель, все своевременно и даже быстрее, работа выполнена отлично!
star star star star star

Последние размещённые задания

Ежедневно эксперты готовы работать над 1000 заданиями. Контролируйте процесс написания работы в режиме онлайн

в любом формате

Решение задач, математические основы судовождения

Срок сдачи к 9 дек.

только что

Разработка IT-продукта

Курсовая, Анализ и моделирование бизнес-процессов

Срок сдачи к 8 дек.

1 минуту назад

География/физ-ра/обж 1 курс колледж. уровень простой.

Решение задач, География

Срок сдачи к 15 дек.

1 минуту назад

Прочитайте высказывания писателей и ученых. Выполните задания:

Контрольная, Русский язык

Срок сдачи к 23 дек.

2 минуты назад

Написать эссе на выбор из двух книг

Эссе, Социология

Срок сдачи к 15 дек.

2 минуты назад

решить не по правилу лопиталя

Решение задач, Математика

Срок сдачи к 7 дек.

3 минуты назад

Добрый день! Помогите, пожалуйста, решить 4 задачи:

Решение задач, физика

Срок сдачи к 8 дек.

3 минуты назад

Помочь решить задач (бух учет) 23 числа в 17:00

Тест дистанционно, Бухгалтерский учет

Срок сдачи к 23 дек.

3 минуты назад

Скрайбинг

Другое, Экология

Срок сдачи к 11 дек.

3 минуты назад

Задачи

Решение задач, Правоведение

Срок сдачи к 31 дек.

3 минуты назад
4 минуты назад

Выполнять задание ориентируясь на структуру работы

Контрольная, Психология

Срок сдачи к 13 дек.

5 минут назад

Нужно написать курсовую работу « Разработка базы данных»

Курсовая, Информатика и программирование

Срок сдачи к 18 дек.

5 минут назад

Реферат не более 15 страниц

Реферат, Физическая культура и спорт

Срок сдачи к 14 дек.

5 минут назад

судебный процесс в россии по соборному уложению 1649 г

Курсовая, история государства и права

Срок сдачи к 14 дек.

6 минут назад

Решить 3 задачи

Контрольная, Физика

Срок сдачи к 9 дек.

6 минут назад
planes planes
Закажи индивидуальную работу за 1 минуту!

Размещенные на сайт контрольные, курсовые и иные категории работ (далее — Работы) и их содержимое предназначены исключительно для ознакомления, без целей коммерческого использования. Все права в отношении Работ и их содержимого принадлежат их законным правообладателям. Любое их использование возможно лишь с согласия законных правообладателей. Администрация сайта не несет ответственности за возможный вред и/или убытки, возникшие в связи с использованием Работ и их содержимого.

«Всё сдал!» — безопасный онлайн-сервис с проверенными экспертами

Используя «Свежую базу РГСР», вы принимаете пользовательское соглашение
и политику обработки персональных данных
Сайт работает по московскому времени:

Вход или
регистрация
Регистрация или
Не нашли, что искали?

Заполните форму и узнайте цену на индивидуальную работу!

Файлы (при наличии)

    это быстро и бесплатно