Экзаменационные билеты по аналитической геометрии за первый семестр 2001 года

примерный перечень экзаменационных вопросов

Аналитическая геометрия

1. Линия на плоскости. Ее уравнение в декартовой системе координат. Текущие координаты произвольной точки линии.

2. Уравнение первой степени относительно x, y. Общее уравнение прямой на плоскости Oxy.

3. Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Условия параллельности и перпендикулярности прямых, заданных уравнениями с угловыми коэффициентами.

4. Уравнение прямой, проходящей через заданную точку с заданным угловым коэффициентом.

5. Уравнение прямой на плоскости, проходящей через две заданные точки.

6. Уравнение прямой на плоскости по точке и направляющему вектору или каноническое уравнение прямой.

7. Уравнение прямой на плоскости по точке и нормальному вектору.

8. Условие параллельности и перпендикулярности прямых на плоскости, у которых заданы направляющие векторы.

9. Условие параллельности и перпендикулярности прямых на плоскости, у которых заданы нормальные векторы.

10. Угол наклона между прямыми на плоскости, заданными уравнениями с угловым коэффициентом.

11. Определения точек пересечения прямых на плоскости по формулам Крамера.

12. Вычисление определителей второго и третьего порядков.

13. Какое уравнение называют уравнением данной поверхности.

14. Общее уравнение плоскости.

15. Уравнение плоскости по нормальному вектору и заданной точке.

16. Уравнение плоскости в отрезках.

17. Условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей.

18. Правая тройка векторов. Векторное произведение двух векторов.

19. Смешанное произведение трех векторов.

20. Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки.

21. Прямая в пространстве, заданная пересечением двух плоскостей.

22. Параметрическое уравнение прямой в пространстве.

23. Каноническое уравнение прямой в пространстве.

24. Уравнение прямой в пространстве, проходящей через две заданные точки.

25. Условие параллельности и перпендикулярности двух прямых в пространстве.

26. Угол между плоскостью и прямой в пространстве.

27. Условие параллельности прямой и плоскости в пространстве.

28. Условие перпендикулярности прямой и плоскости в пространстве.

29. Переход от одного способа задания прямой к другому (на примерах).

30. Уравнение второй степени на плоскости. Какую линию называют кривой второго порядка на плоскости?

31. Уравнение эллипса, гиперболы и параболы на плоскости.

32. Какое уравнение называют уравнением второго порядка в пространстве?

33. Что называется уравнением поверхности в пространстве Охуz?

34. Вырожденные поверхности второго порядка.

35. Невырожденные поверхности второго порядка и их канонические уравнения.

36. Метод параллельных сечений.

37. Эллипсоид, его полуоси. Исследование его формы.

38. Однополостный гиперболоид, его полуоси. Исследование его формы.

39. Гиперболический параболоид, его параметры и форма.

40. Какая поверхность называется поверхностью вращения?

41. Двухполостный гиперболоид вращения, его форма.

42. Эллиптический параболоид вращения и его форма.

43. Конус вращения и его вид.

44. Канонические уравнения двухполостного гиперболоида, конуса, эллипсоида и эллиптического параболоида с осью вращения Oz; Ox; Oy.

45. Цилиндры второго порядка. Их уравнение. Типы цилиндров. Их форма.

46. Линейчатые поверхности второго порядка.

47. Напишите формулы преобразования декартовых прямоугольных координат в пространстве при параллельном сдвиге осей.

48. Напишите формулы преобразования декартовых прямоугольных координат в пространстве при повороте вокруг оси Оz на угол a.

49. Приведение к каноническому виду уравнения поверхности второго порядка с центром в начале координат.

50. Какое уравнение является характеристическим для квадратичной формы?

51. Какие числа называются характеристическими числами квадратичной формы?

52. Приведение к каноническому виду общего уравнения поверхности второго порядка.

53. Можно ли установить тип поверхности, зная характеристические числа?

54. Найти точку пересечения прямых 3х - 4у + 10 = 0 и х + 5у – 3 = 0, используя формулы Крамера.

55. Докажите, что две прямые на плоскости параллельны, если = (2, 5) и = (-4, -10) - их направляющие векторы.

56. Докажите, что две прямые на плоскости перпендикулярны, если = (-2, 3) и = (3, 4) - их нормальные векторы.

57. Из точки (3, -2, 4) опустить перпендикуляр на плоскость 5х + 3у - 7z + 1= 0.

58. Найти координаты основания перпендикуляра, опущенного из точки С(0,5) на прямую, проходящую через точки A(0, 1) и B(3, 3).

59. При каком значении a прямая будет лежать на плоскости 3x – y – z – 3 = 0?

60. Найти координаты вектора, представляющего собой векторное произведение вектора = (1, 6, 0) и вектора (1, -1, -1).

61. Найти общее уравнение плоскости, проходящей через ось Оу и точку М (3, 0, 2).

62. Найти общее уравнение плоскости, проходящей через ось Оy и точку М(3, 0, 2).

63. Написать общее уравнение плоскости, проходящей через начало координат.

64. Написать общее уравнение плоскости, проходящей через ось Оу.

65. Найти направляющий вектор прямой: .

66. Найдите уравнение плоскости, проходящей через три данные точки: М₁(0, 0, 0), М₂(2, -1, 2), М₃(0, -1, 1).

67. С помощью определителя третьего порядка найти смешанное произведение трех векторов = (1, 2, 3), = (-1, 2, 4), = (1, 1, 0).

68. Меридиан 4x² - z² = 4 вращается вокруг оси Оz. Какая поверхность второго порядка при этом получается?

69. Меридиан 2y = x² вращается вокруг оси Оy. Какая поверхность второго порядка при этом получается?

70. Меридиан = -1 вращается вокруг оси Оz. Какая поверхность второго порядка при этом получается?

71. Меридиан x² + z² = 16 вращается вокруг оси Оz. Какая поверхность второго порядка при этом получается?

72. Докажите, что прямая лежит на гиперболоиде .

73. Найдите точки пересечения прямой: и сферы х² + у² + z² = 100.

74. С помощью какого преобразования координат приводится к каноническому виду уравнение поверхности второго порядка ? Как называется эта поверхность?

75. Какие плоскости симметрии имеет гиперболоид ?

76. По характеристическим числам соответствующей квадратичной формы выяснить, какую невырожденную поверхность второго порядка определяет следующее уравнение: 4x² – y² – z² – 4xz =2?

77. По характеристическим числам соответствующей квадратичной формы выяснить, какую невырожденную поверхность второго порядка определяет следующее уравнение: 5x² + 2y² + z² + 2xz = 5?

78. Приведите к каноническому виду уравнение поверхности второго порядка 5x² + 2y² + 7z² – 4yx = 42. Определить вид этой поверхности.

79. Приведите к каноническому виду уравнение поверхности второго порядка 8x² + 2y² + 5z² + 4yz = 48. Определить вид этой поверхности.

80. Приведите к каноническому виду уравнение поверхности второго порядка x² + y² + 2z² – 8xy – 6xz + 24 = 0. Определить вид этой поверхности.

Экзаменационный билет по предмету

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Билет № 1

1. Какое число называется смешанным произведением трех векторов , , ?

2. С помощью определителя третьего порядка найти смешанное произведение трех векторов = (1, 1, 3), = (-1, 0, 4), = (2, 1, 0).

3. Перечислите вырожденные поверхности второго порядка.

4. Как называется линия второго порядка, по которой плоскость
х = 1 пересекает гиперболоид + у² - z² = 1? Напишите уравнение этого сечения.

5. Приведите к каноническому виду уравнение поверхности второго порядка:
х² + 3у² - z² + 6zу - 4 = 0.

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Билет № 2

1. Как вычисляется определитель третьего порядка ?
Вычислить определитель третьего порядка .

2. Найти координаты точки пересечения прямых у = 5х - 4 и .

3. Какая поверхность называется поверхностью второго порядка?

4. Меридиан = 1 вращается вокруг оси Оz. Какая поверхность второго порядка при этом получается?

5. Приведите к каноническому виду уравнение поверхности второго порядка:
4х² + 2у²- 4ху-2yz- 4=0. Определить вид этой поверхности.

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Билет № 3

6. Напишите условие параллельности прямых , .

7. Написать общее уравнение плоскости, проходящей через ось Оу.

8. Напишите каноническое уравнение эллиптического параболоида вращения.

9. Напишите каноническое уравнение параболического цилиндра с образующей, параллельной оси Ох.

10. Приведите к каноническому виду уравнение поверхности второго порядка:
х² + 2у² + 3z² - 4хz - 3 = 0.

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Билет № 4

11. Что называется направляющим вектором прямой на плоскости или в пространстве?

12. Найти смешанное произведение трех векторов (1, 2, 3), (-1, 1, 0),
(0, 3, 1).

13. Напишите каноническое уравнение однополостного гиперболоида вращения.

14. Какие плоскости симметрии имеет эллипсоид ?

15. Приведите к каноническому виду уравнение поверхности второго порядка
–x² + 2y² + 2z² – 2yz = 6. Определить вид этой поверхности.

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Билет № 5

16. Напишите условие параллельности прямых у = к₁х + b₁, y = к₂х + b_2.

17. Найти общее уравнение плоскости, проходящей через ось Оу и точку М(2, 0,1).

18. Дайте определение прямолинейной образующей поверхности второго порядка.

19. Найдите точки пересечения прямой
и эллипсоида х² + у² +.

20. По характеристическим числам соответствующей квадратичной формы выяснить, какую невырожденную поверхность второго порядка определяет следующее уравнение: 2x² – 4y² + z² + 6xz =10?

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Билет № 6

21. Что называется нормальным вектором прямой на плоскости?

22. Найти нормальный вектор плоскости, в которой лежат векторы
(2, 5, 0) и (3, 0, 2).

23. Какой цилиндр является цилиндром второго порядка?

24. Напишите каноническое уравнение кругового цилиндра с образующей, параллельной оси Оz.

25. Напишите характеристическое уравнение квадратичной формы:
3х²+4у²+6z²-2xz и найдите ее характеристические числа.

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Билет № 7

26. Какой угол могут образовывать нормальные векторы двух параллельных плоскостей?

27. Найти общее уравнение плоскости, проходящей через ось Ох и точку М(0, -1,1).

28. Напишите каноническое уравнение параболического цилиндра. Какой координатной оси параллельна образующая этого цилиндра? Какая линия второго порядка является направляющей этого цилиндра?

29. Какие плоскости симметрии имеет гиперболоид ?

30. Напишите характеристическое уравнение для данной квадратичной формы и найдите ее характеристические числа: 9х² + 3у² + 6z² - 12ху.

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Билет № 8

31. Как найти нормальный вектор к плоскости, проходящей через два неколлинеарных вектора?

32. Найти каноническое уравнение прямой

33. Напишите каноническое уравнение конуса вращения.

34. Напишите каноническое уравнение кругового цилиндра с образующей, параллельной оси Ох.

35. Приведите к каноническому виду уравнение поверхности второго порядка:
14х² + 12у² + 10z² - 8ху - 8zу - 17 = 0.

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Билет № 9

36. Напишите уравнение прямой на плоскости по точке и направляющему вектору.

37. Найти координаты вектора, представляющего собой векторное произведение вектора = (1, 0, 1) на вектор (3, 1, -1).

38. Какой вид имеет каноническое уравнение эллипсоида вращения?

39. Какие плоскости симметрии имеет параболоид 2у = ?

40. Ось Оz является осью вращения конуса с вершиной в начале координат, точка М (0, 1, 2) лежит на его поверхности. Составить уравнение этого конуса.

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Билет № 10

41. Известно, что прямая в пространстве с направляющим вектором параллельна плоскости с нормальным вектором . Как расположены векторы и по отношению друг к другу?

42. Докажите, что прямая лежит на плоскости х + у -3z + 17 = 0.

43. Напишите каноническое уравнение эллиптического параболоида.

44. Напишите каноническое уравнение эллиптического цилиндра с образующей, параллельной оси Оу.

45. По характеристическим числам соответствующей квадратичной формы выяснить, какую невырожденную поверхность второго порядка может определять следующее уравнение: х² + у² + z² - 2ху = 10.

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Билет № 11

46. Дайте определение векторного произведения векторов и .

47. Точка М₁ (1, -2, 2) является основанием перпендикуляра, опущенного из точки М₂ (3, 0, -1) на плоскость. Найти уравнение плоскости.

48. Что называется уравнением поверхности в пространстве Охуz?

49. Напишите каноническое уравнение гиперболического цилиндра с образующей, параллельной оси Оу.

50. Приведите к каноническому виду уравнение поверхности второго порядка
5x² + 2y² + 7z² – 4yx = 42. Определить вид этой поверхности.

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Билет № 12

51. Напишите условие параллельности прямых в пространстве.

52. Докажите, что две прямые на плоскости параллельны, если = (1, 2) и = (-2, -4) - их направляющие векторы.

53. Что называется уравнением второй степени относительно х, у?

54. Доказать, что двухполостный гиперболоид х² + у² - z² = -1 имеет одну общую точку с плоскостью х + 2z + 1 = 0, и найти ее координаты.

55. Приведите к каноническому виду уравнение поверхности второго порядка
2x² + y² + z² –8zy = 30. Определить вид этой поверхности.

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Билет № 13

56. Что называется углом между прямой и плоскостью?

57. Найти направляющий вектор прямой .

58. Какая поверхность называется линейчатой?

59. Меридиан = -1 вращается вокруг оси Оz. Какая поверхность второго порядка при этом получается?

60. Приведите к каноническому виду уравнение поверхности второго порядка
6x² + 5y² + 6z² – 8xz = 20. Определить вид этой поверхности.

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Билет № 14

61. Что называют смешанным произведением трех векторов?

62. Докажите, что прямая лежит на плоскости
3x – 4y – z – 4 = 0.

63. Напишите каноническое уравнение эллипсоида вращения.

64. Доказать, что эллиптический параболоид 2z = + у² имеет одну общую точку с плоскостью 2х - 2у - z - 10 = 0, и найти ее координаты.

65. С помощью какого преобразования координат приводится к каноническому виду уравнение поверхности второго порядка
2(z - 1) = ? Как называется эта поверхность?

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Билет № 15

66. Что называется текущими координатами на линии F(х, у) = 0?

67. Найти координаты основания высоты, опущенной из вершины B треугольника ABC, если вершины известны: A(1, 1); B(2, 4); C(0, -1).

68. Напишите каноническое уравнение двухполостного гиперболоида вращения.

69. Какие плоскости симметрии имеет конус ?

70. По характеристическим числам соответствующей квадратичной формы выяснить, какую невырожденную поверхность второго порядка может определять следующее уравнение: х² + у² - 2уz = 12.

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Билет № 16

71. Какой угол могут образовывать направляющие векторы двух параллельных прямых в пространстве?

72. Найти каноническое уравнение прямой

73. Напишите каноническое уравнение однополостного гиперболоида. Что называется полуосями этого гиперболоида?

74. Меридиан у² + z² = 4 вращается вокруг оси Оz. Какая поверхность второго порядка при этом получается?

75. По характеристическим числам соответствующей квадратичной формы выяснить, какую невырожденную поверхность второго порядка определяет следующее уравнение: 6x² + 2y² – 6z² – 2xy =10?

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Билет № 17

76. Что называется нормальным вектором плоскости?

77. Найти координаты основания перпендикуляра, опущенного из точки С(1,1) на прямую, проходящую через точки A(1, 0) и B(2, -1).

78. Напишите каноническое уравнение гиперболического параболоида.

79. Напишите каноническое уравнение эллиптического цилиндра с образующей, параллельной оси Оz.

80. Приведите к каноническому виду уравнение поверхности второго порядка:
-2х² + 6у² + 6z² + 4zу - 1 = 0.

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Билет № 18

81. Напишите условие параллельности двух плоскостей.

82. Докажите, что две прямые на плоскости параллельны, если = (2, 7) и = (4, 14) - их нормальные векторы.

83. Каким преобразованием можно привести к каноническому виду уравнение поверхности второго порядка: ?

84. Напишите каноническое уравнение эллиптического цилиндра с образующей, параллельной оси Ох.

85. Приведите к каноническому виду уравнение поверхности второго порядка:
2х² + у²+3z²-4yz+1=0. Определить вид этой поверхности.

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Билет № 19

86. Как найти направляющий вектор прямой в пространстве, заданной как пересечение двух плоскостей?

87. Найти координаты основания перпендикуляра, опущенного из точки С(0,1) на прямую, проходящую через точки A(1, 1) и B(2, 1).

88. Какого типа существуют цилиндры второго порядка?

89. Как называется линия второго порядка, по которой плоскость
z = пересекает эллипсоид х² + у² + ? Напишите уравнение этого сечения.

90. Приведите к каноническому виду уравнение поверхности второго порядка
2x² + 3y² + 2z² + 2xz = 9. Определить вид этой поверхности.

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Билет № 20

91. Как вычисляется определитель второго порядка ? Вычислить.

92. Написать общее уравнение плоскости, проходящей через начало координат.

93. Какая поверхность называется цилиндрической (цилиндром)?

94. Как называется линия второго порядка, по которой плоскость
у = 1 пересекает гиперболоид х² +? Напишите уравнение этого сечения.

95. Напишите характеристическое уравнение для данной квадратичной формы и найдите ее характеристические числа: -2х² + 2у² + 6z² +12хz .

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Билет № 21

96. Напишите условие перпендикулярности прямой и плоскости.

97. Докажите, что прямая лежит на плоскости х + у - z +1 = 0.

98. Какой вид имеет каноническое уравнение эллипсоида? Какие величины называют полуосями эллипсоида?

99. Найдите точки пересечения прямой
и параболоида 2z = х² + у² .

100. Напишите характеристическое уравнение для данной квадратичной формы и найдите ее характеристические числа: .

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Билет № 22

101. Какой вид имеет уравнение плоскости, проходящей через три данные точки.

102. Найти координаты вектора, представляющие собой векторное произведение вектора (1, 1, 3) на вектор (0, 2, 1).

103. Какой вид имеет каноническое уравнение однополостного гиперболоида? Какие величины называют полуосями однополостного гиперболоида?

104. Напишите каноническое уравнение параболического цилиндра с образующей, параллельной оси Оz.

105. По характеристическим числам соответствующей квадратичной формы выяснить, какую невырожденную поверхность второго порядка определяет следующее уравнение: 2x² + 2y² + z² + 8zy =3?

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Билет № 23

106. Напишите условие перпендикулярности прямых у = к₁х + b₁, y = к₂х + b_2.

107. Найдите уравнение плоскости, проходящей через три данные точки:
М₁ (1, 0, 0), М₂ (0, 1, 0), М₃ (0, 0, 2).

108. Напишите формулы преобразования декартовых прямоугольных координат в пространстве при параллельном сдвиге осей.

109. Докажите, что прямая , лежит на конусе .

110. С помощью какого преобразования координат приводится к каноническому виду уравнение поверхности второго порядка ? Как называется эта поверхность?

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Билет № 24

111. Какой угол образуют нормальные векторы двух перпендикулярных плоскостей?

112. Написать общее уравнение плоскости, проходящей через ось Оz.

113. Напишите каноническое уравнение кругового цилиндра.

114. Какие плоскости симметрии имеет однополостный гиперболоид ?

115. Приведите к каноническому виду уравнение поверхности второго порядка
–x² + 4y² - z² + 4xz = 24. Определить вид этой поверхности.

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Билет № 25

116. Что называется углом между прямыми на плоскости?

117. Найти нормальный вектор плоскости, в которой лежат векторы
(2, -1, 2)и (0, 3, 1).

118. Напишите формулы преобразования декартовых прямоугольных координат в пространстве при повороте вокруг оси Оz на угол a.

119. Напишите каноническое уравнение параболического цилиндра с образующей, параллельной оси Оу.

120. По характеристическим числам соответствующей квадратичной формы выяснить, какую невырожденную поверхность второго порядка определяет следующее уравнение: 4x² – y² – z² – 4xz =2?

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Билет № 26

121. Напишите условие параллельности прямых на плоскости, заданных уравнениями с угловыми коэффициентами.

122. Найдите уравнение плоскости, проходящей через три данные точки:
М₁ (3, 0, 0), М₂ (0, 1, 0), М₃ (0, 0, 1).

123. Напишите каноническое уравнение гиперболического цилиндра. Какой координатной оси параллельна образующая этого цилиндра? Какая линия второго порядка является направляющей этого цилиндра?

124. Найдите точки пересечения прямой
и сферы х² + у² + z² = 16.

125. По характеристическим числам соответствующей квадратичной формы выяснить, какую невырожденную поверхность второго порядка определяет следующее уравнение: 5x² + 2y² + z² + 2xz = 5?

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Билет № 27

126. Напишите условие параллельности прямой и плоскости.

127. Найдите уравнение плоскости, проходящей через три данные точки:
М₁ (3, 1, 0), М₂ (1, 2, 0), М₃ (0, 0, 0).

128. Напишите каноническое уравнение двухполостного гиперболоида. Что называется полуосями этого гиперболоида?

129. Какие плоскости симметрии имеет параболоид 2z =?

130. Напишите характеристическое уравнение квадратичной формы:
х²-5у²-z²-10xz и найдите ее характеристические числа.

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Билет № 28

131. Что называется уравнением линии на плоскости Оху?

132. Из точки (3, -2, 4) опустить перпендикуляр на плоскость
5х + 3у - 7z + 1= 0.

133. Какие сечения называют коническими?

134. Докажите, что прямая лежит на гиперболоиде .

135. Приведите к каноническому виду уравнение поверхности второго порядка
x² + y² + z² – 6yz = 4. Определить вид этой поверхности.

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Билет № 29

136. Какой вид имеет уравнение прямой, проходящей через две данные точки в пространстве.

137. Найти координаты вектора, представляющего собой векторное произведение вектора = (2, -1, 1) на вектор (1, 1, 0).

138. Какая поверхность называется поверхностью вращения?

139. Напишите каноническое уравнение гиперболического цилиндра с образующей, параллельной оси Оz.

140. Приведите к каноническому виду уравнение поверхности второго порядка
8x² + 2y² + 5z² + 4yz = 48. Определить вид этой поверхности.

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Билет № 30

141. Напишите условие перпендикулярности прямых в пространстве.

142. Найти координаты основания высоты, опущенной из вершины B треугольника ABC, если вершины известны: A(0, 5); B(1, 3); C(3, 0).

143. Дайте определение конического сечения (коники).

144. Меридиан вращается вокруг оси Oz. Какая поверхность второго порядка получается?

145. Приведите к каноническому виду уравнение поверхности второго порядка
x² + y² + 2z² – 8xy – 6xz + 24 = 0. Определить вид этой поверхности.

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Билет № 31

146. Какой вектор называется векторным произведением вектора на вектор ?

147. Докажите, что две прямые на плоскости перпендикулярны, если
= (3, -1) и = (2, 6) - их нормальные векторы.

148. Напишите каноническое уравнение эллиптического цилиндра. Какой координатной оси параллельна образующая этого цилиндра? Какая линия второго порядка является направляющей этого цилиндра?

149. Докажите, что прямая , лежит на цилиндрической
поверхности .

150. Напишите характеристическое уравнение квадратичной формы:
х²+4у²-2z²-2xz и найдите ее характеристические числа.

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Билет № 32

151. Известно, что - направляющий вектор прямой в пространстве, - нормальный вектор плоскости. Какой угол могут образовывать векторы и , если прямая и плоскость перпендикулярны?

152. Найти точку М₀ (x₀, y₀, z₀) пересечения плоскости 5x – 2y + z = 1 и
прямой

153. Что называется текущими координатами на поверхности F(х, у, z) = 0?

154. Докажите, что прямая лежит на параболоиде .

155. По характеристическим числам соответствующей квадратичной формы выяснить, какую невырожденную поверхность второго порядка определяет следующее уравнение: 4ху + 2х² + 5у² + 7z² = 70.

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Билет № 33

156. Что называется уравнением первой степени относительно х, у, z?

157. Найти общее уравнение плоскости, проходящей через ось Оz и точку М(1, 1,0).

158. Напишите каноническое уравнение эллипсоида.

159. Найдите точку пересечения прямой
и гиперболоида х² + у² - z² = 1.

160. С помощью какого преобразования координат приводится к каноническому виду уравнение поверхности второго порядка ? Как называется эта поверхность?

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Билет № 34

161. Напишите условие перпендикулярности двух плоскостей.

162. Докажите, что две прямые на плоскости перпендикулярны, если
= (3, 4) и = (-8, 6) - их направляющие векторы.

163. Дайте определение полуосей гиперболоида и эллипсоида.

164. Меридиан у² - z² = 1 вращается вокруг оси Оz. Какая поверхность второго порядка при этом получается?

165. Приведите к каноническому виду уравнение поверхности второго порядка
3x² + 3y² - z² + 2xy = 12. Определить вид этой поверхности.

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Билет № 35

166. Напишите условие перпендикулярности прямых на плоскости, заданных уравнениями с угловыми коэффициентами.

167. Найти точку пересечения прямых 2х + 3у - 5 = 0 и х - у = 0, используя формулы Крамера.

168. Напишите уравнение второй степени относительно х, у, z.

169. Как называется линия второго порядка, по которой плоскость пересекает эллипсоид ? Напишите уравнение этого сечения.

170. Напишите характеристическое уравнение для данной квадратичной формы и найдите ее характеристические числа: 12х² + 12z² - 4у² + 8ху.

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------