Всё сдал! - помощь студентам онлайн Всё сдал! - помощь студентам онлайн

Реальная база готовых
студенческих работ

pencil
Узнай стоимость на индивидуальную работу!
icon Цены в 2-3 раза ниже
icon Мы работаем
7 дней в неделю
icon Только проверенные эксперты

Решение краевой задачи для ОДУ методом конечных разностей

Тип Реферат
Предмет Математика
Просмотров
898
Скачиваний
600
Размер файла
70 б
Поделиться

Решение краевой задачи для ОДУ методом конечных разностей

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

МАРИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Кафедра ПиПЭВС

Курсовая работа

по дисциплине «Моделирование систем»

Решение краевой задачи для ОДУ методом конечных разностей.

Йошкар-Ола

2010

Теоретическая часть.

Краевые задачи, задачи, в которых из некоторого класса функций, определённых в данной области, требуется найти ту, которая удовлетворяет на границе (крае) этой области заданным условиям. Функции, описывающие конкретные явления природы (физические, химические и др.), как правило, представляют собой решения уравнений математической физики, выведенных из общих законов, которым подчиняются эти явления. Когда рассматриваемые уравнения допускают целые семейства решений, дополнительно задают так называемые краевые или начальные условия, позволяющие однозначно выделить интересующее нас решение. В то время, как краевые условия задаются исключительно на граничных точках области, где ищется решение, начальные условия могут оказаться заданными на определённом множестве точек внутри области.

Для исследования краевых задач широко используются методы интегральных уравнений (потенциала), априорных оценок и конечных разностей.

Конечные разности.

Исчисление конечных разностей связано с изучением свойств и применений разностей между соседними членами какой-нибудь последовательности или между значениями функции в точках, расположенных с постоянным интервалом в некотором пространстве. Слово «конечные» используется здесь в несколько устаревшем смысле «не бесконечно малые», т.е. не связанные с предельными переходами. Поскольку дифференциальное исчисление занимается изучением пределов разностей, а исчисление конечных разностей – самими разностями, то естественно, что между этими двумя теориями существуют много параллелей. Исчисления конечных разностей используются при интерполяции в математических таблицах, при суммировании числовых рядов, при вычислении интегралов и дифференцировании функций. Разности встречаются также в любой ситуации, когда надо описать поведение объекта, который испытывает воздействие меняющихся условий на определенном расстоянии (во времени и в пространстве). Например, термостату требуется значительное время, чтобы отреагировать на изменение температуры, поэтому он реагирует не на текущую температуру, а на ту, что была минуту назад. Другой пример: автомашиной управляет водитель, которому требуется какое-то время, чтобы отреагировать на возникшую на дороге ситуацию.

Под конечной разностью первого порядка функции f (x) принято понимать величину

где d – некоторая постоянная, которую часто, но не всегда, принимают равной 1. Разность второго порядка обозначается D2f и представляет собой разность разностей, т.е.

Продолжив этот процесс, мы получим разности более высоких порядков D3f (x), D4f (x), ј .

У истоков теории.

Хотя исследование свойств и использование конечных разностей приходится на современный период развития математики, Птолемей (ок. 150 н.э.) ввел в Альмагесте таблицу разностей первого порядка, чтобы облегчить расчеты в таблице длин хорд. Разности второго порядка использовал при вычислении своих таблиц логарифмов в 1624 Г.Бриггс. Теория интерполяции берет начало со знаменитой пятой леммы из 3-й книги Математических начал (1687) И.Ньютона, в которой впервые была приведена формула, носящая ныне его имя. Частный случай формулы Ньютона, открытый также независимо его современником Дж.Грегори (1638–1675), приведен ниже (см. формулу (7)). В общей формуле интерполяции Ньютона использовались разделенные разности, хотя этот термин, по-видимому, был введен О.де Морганом (1806–1871) в 1848. Первое применение исчисления конечных разностей к задачам теории вероятностей принято связывать с именами П.де Монтмора (1678–1719) и А.де Муавра (1667–1754).

Хотя Л.Эйлер (1707–1783) в своих работах по дифференциальному исчислению использовал предельные переходы в конечных разностях, основания современной теории конечных разностей были заложены в основном Ж.Лагранжем (1736–1813) и П.Лапласом (1749–1827). Первый из них ввел в исчисление конечных разностей символические методы, второй сделал конечные разности главным инструментом в своей Аналитической теории вероятностей (1812).

Под влиянием этих работ математики 19 в. принялись интенсивно разрабатывать предмет, и в 1860 Дж.Буль выпустил свой классический Трактат об исчислении конечных разностей. С тех пор это исчисление и круг его приложений существенно расширились. Одно из наиболее важных приложений конечные разности нашли в статистике. Особенно полезными они оказались в теории сериальной корреляции, в анализе случайных последовательностей и статистических временных рядов.

Алгоритм метода конечных разностей.

1. Разобьем отрезок [a,b] на nравных частей длины, или шага

Точки разбиения называются узлами, а их совокупность – сеткойна отрезке [a,b]

2. Вводим обозначения

3. Заменим производные односторонними конечно-разностными отношениями:

Эти формулы приближенно выражают значения производных во внутренних точках интервала [a,b].

Кроме того, краевые условия дополнительно дают еще два уравнения:

Составляем матрицу уравнений, которую можно решить любым численным методом.

Практическая часть.

Задание:

Используя метод конечных разностей, составить решение краевой задачи для ОДУ с точностью , h=0,1.

Разбив отрезок [1;1,3] на части с шагом h=0.1 получим 4 узловые точки с абсциссами:

две точки x0 и x3 – конечные;

две другие x1 и x2 – внутренние.

Заменим производные односторонними конечно-разностными отношениями:

Во внутренних точках (i=1,2)

=

Конечно-разностные уравнения в конечных точках:

После упрощения система принимает следующий вид:

Для нахождения корней данной системы уравнений воспользуемся методом Гаусса. (Приложение) Решением краевой задачи является:

Вывод:

Разработано много методов численного решения уравнений в частных производных. Наиболее часто используемые из них - методы конечных разностей и конечных элементов. В ходе данной работы изучался метод конечных разностей как один из методов решения краевой задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений.

Метод конечных разностей был разработан раньше остальных и на первый взгляд является наиболее простым в реализации. Идея его состоит в разбиении прямоугольной сеткой области, в которой решается уравнение, и дискретизация дифференциального оператора. Решая линейную систему уравнений, находят приближенные решения в узлах решетки. Основные трудности связаны с учетом граничных условий, если граница области имеет сложную геометрическую форму.

К недостаткам метода следует отнести плохую аппроксимацию границ сложных областей, что не слишком принципиально для уравнений теплопроводности, но довольно существенно для уравнений гидродинамики. Кроме того, метод плохо работает в случае тонкостенных отливок, когда толщина стенок становится сравнимой с шагом сетки. То есть применять данный метод стоит лишь в условиях, пригодных для решения конкретной задачи, когда ставится вопрос точности и скорости вычислений.

ПРИЛОЖЕНИЕ

Листинг программы:

program Kraevaja;

uses crt;

var

x1,x2,x3,x4:real;

i,j:integer;

Z:real;

B:array [1..4,1..5] of real;

C:array [1..4,1..5] of real;

procedure EnterMatrix;

begin

writeln('Введитеэлементыупрощеннойматрицы:');

for i:=1 to 4 do

for j:=1 to 5 do begin

write ('B[',i,',',j,']=');

readln (B[i,j]);

end;

end;

procedure PrintMatrix;

begin

for i:=1 to 4 do begin

for j:=1 to 5 do

write(B[i,j]:6:2);

writeln;

end;

end;

begin

clrscr;

gotoxy(30,1);

writeln('Метод конечных разностей');

gotoxy(1,2);

writeln('Исходное задание);

gotoxy(20,2);

writeln('d^2г/dx^2-(dy/dx)/2+3y=2x^2');

gotoxy(20,4);

writeln('y(1)+2(dy/dx)(1)=0,6');

gotoxy(20,5);

writeln('y(1,3)=1');

gotoxy(1,6);

writeln(' Ј h=0,1');

EnterMatrix;

writeln('Исходнаяматрица:');

PrintMatrix;

Z:=B[1,1];

for j:=1 to 5 do

begin

B[1,j]:=B[1,j]/z;

end;

for j:=1 to 5 do

begin

C[1,j]:=B[1,j];

end;

Z:=B[2,1];

for j:=1 to 5 do

begin

B[1,j]:=B[1,j]*Z;

end;

for j:=1 to 5 do

begin

B[2,j]:=B[2,j]-B[1,j];

end;

Z:=B[2,2];

for j:=1 to 5 do

begin

B[2,j]:=B[2,j]/Z;

end;

for j:=1 to 5 do

begin

C[2,j]:=B[2,j];

end;

for j:=1 to 5 do

begin

B[1,j]:=C[1,j];

end;

Z:=B[3,1];

for j:=1 to 5 do

begin

B[1,j]:=B[1,j]*Z;

end;

for j:=1 to 5 do

begin

B[3,j]:=B[3,j]-B[1,j];

end;

for j:=1 to 5 do

begin

B[2,j]:=C[2,j];

end;

Z:=B[3,2];

for j:=1 to 5 do

begin

B[2,j]:=B[2,j]*Z;

end;

for j:=1 to 5 do

begin

B[3,j]:=B[3,j]-B[2,j];

end;

Z:=B[3,3];

for j:=1 to 5 do

begin

B[3,j]:=B[3,j]/Z;

end;

for j:=1 to 5 do

begin

C[3,j]:=B[3,j];

end;

for j:=1 to 5 do

begin

B[1,j]:=C[1,j];

end;

Z:=B[4,1];

for j:=1 to 5 do

begin

B[1,j]:=B[1,j]*Z;

end;

for j:=1 to 5 do

begin

B[4,j]:=B[4,j]-B[1,j];

end;

for j:=1 to 5 do

begin

B[2,j]:=C[2,j];

end;

Z:=B[4,2];

for j:=1 to 5 do

begin

B[2,j]:=B[2,j]*Z;

end;

for j:=1 to 5 do

begin

B[4,j]:=B[4,j]-B[2,j];

end;

for j:=1 to 5 do

begin

B[3,j]:=C[3,j];

end;

Z:=B[4,3];

for j:=1 to 5 do

begin

B[3,j]:=B[3,j]*Z;

end;

for j:=1 to 5 do

begin

B[4,j]:=B[4,j]-B[3,j];

end;

for j:=1 to 5 do

begin

C[4,j]:=B[4,j];

end;

for j:=1 to 5 do

begin

B[2,j]:=C[2,j];

end;

x4:=C[4,5]/C[4,4];

x3:=C[3,5]-x4*C[3,4];

x2:=C[2,5]-x4*C[2,4]-x3*C[2,3];

x1:=C[1,5]-x4*C[1,4]-x3*C[1,3]-x2*C[1,2];

writeln('y(1)=',x1:3:3);

writeln('y(1,1)=',x2:3:3);

writeln('y(1,2)=',x3:3:3);

writeln('y(1,3)=',x4:3:3);

readkey;

end.

program tochki;

uses crt, graph;

var

gd,gm,a:integer;

begin

clrscr;

initgraph(gd,gm,'');

setcolor(12);

line(320,0,320,480);

line(0,240,640,240);

outtextxy(400,100,'tochka1');

outtextxy(440,110,'tochka2');

outtextxy(480,120,'tochka3');

outtextxy(530,130,'tochka4');

readkey;

end.


Нет нужной работы в каталоге?

Сделайте индивидуальный заказ на нашем сервисе. Там эксперты помогают с учебой без посредников Разместите задание – сайт бесплатно отправит его исполнителя, и они предложат цены.

Цены ниже, чем в агентствах и у конкурентов

Вы работаете с экспертами напрямую. Поэтому стоимость работ приятно вас удивит

Бесплатные доработки и консультации

Исполнитель внесет нужные правки в работу по вашему требованию без доплат. Корректировки в максимально короткие сроки

Гарантируем возврат

Если работа вас не устроит – мы вернем 100% суммы заказа

Техподдержка 7 дней в неделю

Наши менеджеры всегда на связи и оперативно решат любую проблему

Строгий отбор экспертов

К работе допускаются только проверенные специалисты с высшим образованием. Проверяем диплом на оценки «хорошо» и «отлично»

1 000 +
Новых работ ежедневно
computer

Требуются доработки?
Они включены в стоимость работы

Работы выполняют эксперты в своём деле. Они ценят свою репутацию, поэтому результат выполненной работы гарантирован

avatar
Экономика
Маркетинг
Информатика
icon
110132
рейтинг
icon
2709
работ сдано
icon
1239
отзывов
avatar
Математика
Физика
История
icon
103841
рейтинг
icon
5283
работ сдано
icon
2380
отзывов
avatar
Химия
Экономика
Биология
icon
74482
рейтинг
icon
1859
работ сдано
icon
1174
отзывов
avatar
Высшая математика
Информатика
Геодезия
icon
62710
рейтинг
icon
1046
работ сдано
icon
598
отзывов
Отзывы студентов о нашей работе
48 897 оценок star star star star star
среднее 4.9 из 5
СИБИТ
Написан реферат по предмету "Бухгалтерский учет и анализ. Работа зачтена, спасибо исполнит...
star star star star star
педагогический колледж
Работа выполнена раньше срока, без замечаний. Я осталась довольна. Спасибо.
star star star star star
Московский Университет имени С.Ю. Витте
Спасибо исполнителю за работу, как всегда выполнена досрочно, без замечаний, из 100 баллов...
star star star star star

Последние размещённые задания

Ежедневно эксперты готовы работать над 1000 заданиями. Контролируйте процесс написания работы в режиме онлайн

Интеллектуальная собственность, менеджмент решение задания

Решение задач, Интеллектуальная собственность, менеджмент

Срок сдачи к 10 дек.

только что

8.3 - составить уравнение плоскости которая проходит через линию...

Решение задач, Математика

Срок сдачи к 8 дек.

только что

"Феномен массовой литературы"

Курсовая, Литература

Срок сдачи к 16 дек.

только что

Интеллектуальная собственность, менеджмент решение задания

Решение задач, Интеллектуальная собственность, менеджмент

Срок сдачи к 10 дек.

только что

Решение задач

Контрольная, электротехника и электроника

Срок сдачи к 11 дек.

1 минуту назад

Решить 4 задачи по физике

Решение задач, Физика

Срок сдачи к 11 дек.

1 минуту назад

Интеллектуальная собственность, менеджмент решение задания

Решение задач, Интеллектуальная собственность, менеджмент

Срок сдачи к 10 дек.

1 минуту назад

Чертеж

Чертеж, Информационные технологии

Срок сдачи к 11 дек.

1 минуту назад

Сделать 2 чертежа

Контрольная, Основы компьютерной графики

Срок сдачи к 9 дек.

2 минуты назад

Интеллектуальная собственность, менеджмент решение задания

Решение задач, Интеллектуальная собственность, менеджмент

Срок сдачи к 10 дек.

2 минуты назад

Оценка инестиционнои? деятеьности

Отчет по практике, Менеджмент

Срок сдачи к 11 дек.

2 минуты назад

Сделать курсовую

Курсовая, Устройства генерации и формирования сигналов

Срок сдачи к 14 дек.

2 минуты назад

Решить 4 задачи

Решение задач, Математика

Срок сдачи к 8 дек.

3 минуты назад

РГР, Государственное и муниципальное управление

Контрольная, государственное и муниципальное управление

Срок сдачи к 12 дек.

3 минуты назад

Интеллектуальная собственность, менеджмент, решение задач

Решение задач, Интеллектуальная собственность, менеджмент

Срок сдачи к 10 дек.

3 минуты назад

Информационные технологиии как инструмент проведения межпредметных...

Курсовая, Методика информатики

Срок сдачи к 11 дек.

3 минуты назад

Задача

Контрольная, туризм

Срок сдачи к 13 дек.

3 минуты назад
planes planes
Закажи индивидуальную работу за 1 минуту!

Размещенные на сайт контрольные, курсовые и иные категории работ (далее — Работы) и их содержимое предназначены исключительно для ознакомления, без целей коммерческого использования. Все права в отношении Работ и их содержимого принадлежат их законным правообладателям. Любое их использование возможно лишь с согласия законных правообладателей. Администрация сайта не несет ответственности за возможный вред и/или убытки, возникшие в связи с использованием Работ и их содержимого.

«Всё сдал!» — безопасный онлайн-сервис с проверенными экспертами

Используя «Свежую базу РГСР», вы принимаете пользовательское соглашение
и политику обработки персональных данных
Сайт работает по московскому времени:

Вход или
регистрация
Регистрация или
Не нашли, что искали?

Заполните форму и узнайте цену на индивидуальную работу!

Файлы (при наличии)

    это быстро и бесплатно