Всё сдал! - помощь студентам онлайн Всё сдал! - помощь студентам онлайн

Реальная база готовых
студенческих работ

pencil
Узнай стоимость на индивидуальную работу!
icon Цены в 2-3 раза ниже
icon Мы работаем
7 дней в неделю
icon Только проверенные эксперты

Уравнение и функция Бесселя

Тип Реферат
Предмет Математика
Просмотров
1014
Скачиваний
390
Размер файла
0.93 Кб
Поделиться

Уравнение и функция Бесселя

Содержание

Задание на курсовую работу ....................................................................... 2

Замечания руководителя .............................................................................. 3

1. Бесселевы функции с любым индексом ................................................... 5

2. Формулы приведения для бесселевых функций ..................................... 10

3. Бесселевы функции с полуцелым индексом ............................................. 13

4. Интегральное представление бесселевых функций с целым индексом .. 15

5. Ряды Фурье-Бесселя ................................................................................. 18

6. Асимптотическое представление бесселевых функций с целым индексом для больших значений аргумента ...................................................................... 23

Список литературы ...................................................................................... 30


1. Бесселевы функции с любым индексом

Уравнение Лапласа в цилиндрических координатах

Чтобы объяснить происхождение бесселевых функций, рассмотрим уравнение Лапласа в пространстве:

. (1)

Если перейти к цилиндрическим координатам по формулам:

, , ,

то уравнение (1) примет следующий вид:

. (2)

Поставим задачу: найти все такие решения уравнения, которые могут быть представлены в виде произведения трех функций, каждая из которых зависит только от одного аргумента, то есть найти все решения вида:

,

где , , предполагаются дважды непрерывно дифференцируемыми.

Пусть есть решение упомянутого вида. Подставляя его в (2), получим:

,

откуда (после деления на )

.

Записав это в виде:

,

найдем, что левая часть не зависит от , правая не зависит от , ; следовательно, общая величина этих выражений есть некоторая постоянная . Отсюда:

; ;

; ;

.

В последнем равенстве левая часть не зависит от , правая не зависит от ; следовательно, общая величина этих выражений есть некоторая постоянная . Отсюда:

, ;

, .

Таким образом, , , должны удовлетворять линейным дифференциальным уравнениям второго порядка:

,

(3)

, ,

из которых второе и третье есть простейшие линейные уравнения с постоянными коэффициентами, а первое является линейным уравнением с переменными коэффициентами нового вида.

Обратно, если , , удовлетворяют уравнениям (3), то есть решение уравнения (2). В самом деле, подставляя в левую часть (2) и деля затем на , получим:

.

Таким образом, общий вид всех трех решений уравнения (2), которые являются произведением трех функций, каждая из которых зависит от одного аргумента, есть , где , , – любые решения уравнений (3) при любом выборе чисел , .

Первое из уравнений (3) в случае , называется уравнением Бесселя. Полагая в этом случае , обозначая независимую переменную буквой (вместо ), а неизвестную функцию – буквой (вместо ), найдем, что уравнение Бесселя имеет вид:

. (4)

Это линейное дифференциальное уравнение второго порядка с переменными коэффициентами играет большую роль в приложениях математики. Функции, ему удовлетворяющие, называются бесселевыми, или цилиндрическими, функциями.

Бесселевы функции первого рода

Будем искать решение уравнения Бесселя (4) в виде ряда:

.

Тогда

,

,

,

.

Следовательно, приходим к требованию

или к бесконечной системе уравнений

,

которая распадается на две системы:

Первая из них удовлетворится, если взять … Во второй системе можно взять произвольно; тогда … однозначно определяются (если не является целым отрицательным числом). Взяв

,

найдем последовательно:

,

,

,

и в качестве решения уравнения (4) получим ряд:

Этот ряд, формально удовлетворяющий уравнению (4), сходится для всех положительных значений и, следовательно, является решением уравнения (4) в области (в случае целого в области ).

Функция

(5)

называется бесселевой функцией первого рода с индексом . Она является одним из решений уравнения Бесселя (4). В случае целого неотрицательного индекса получим:

, (5`)

и, в частности,

. (5``)

Общее решение уравнения Бесселя

В случае нецелого индекса функции и являются решениями уравнения (4). Эти решения линейно независимы, так как начальные члены рядов, изображающих эти функции, имеют коэффициенты, отличные от нуля, и содержат разные степени . Таким образом, в случае нецелого индекса общее решение уравнения Бесселя есть:

. (6)

Если (целое отрицательное число), то функция, определяемая формулой (5) (учитывая, что равно нулю для …), принимает вид:

(5```)

или, после замены индекса суммирования на ,

, (7)

откуда видно, что удовлетворяет вместе с уравнению Бесселя

.

Но формула (6) в случае целого уже не дает общего решения уравнения (4).

Полагая

( – не целое) (8)

и дополняя это определение для (целое число) формулой:

, (8`)

получим функцию , удовлетворяющую уравнению Бесселя (4) и во всех случаях линейно независимую от (в случае , где – целое). Функция называется бесселевой функцией второго рода с индексом . Общее решение уравнения Бесселя (4) можно записать во всех случаях в виде:

. (9)


2. Формулы приведения для бесселевых функций

Имеем:

; ;

, ;

.

Следовательно,

. (10)

Таким образом, операция (состоящая в дифференцировании с последующим умножением на ), примененная к , повышает в этом выражении индекс на единицу и меняет знак. Применяя эту операцию раз, где – любое натуральное число, получаем:

. (10`)

Имеем:

;

Следовательно,

. (11)

Таким образом, операция , примененная к , понижает в этом выражении индекс на единицу. Применяя эту операцию раз, получаем:

. (11`)

Из выведенных формул можно получить некоторые следствия. Используя (10), получим:

; ; .

Отсюда, в частности, следует, что . Используя (11), получим:

; ; .

Почленное сложение и вычитание полученных равенств дает:

, (12)

. (13)

Формула (13) позволяет выразить все бесселевы функции с целыми индексами через , . Действительно, из (13) находим (полагая ):

, (13`)

откуда последовательно получаем:

,

, …………………


3. Бесселевы функции с полуцелым индексом

Бесселевы функции, вообще говоря, являются новыми трансцендентными функциями, не выражающимися через элементарные функции. Исключение составляют бесселевы функции с индексом , где – целое. Эти функции могут быть выражены через элементарные функции.

Имеем:

,

,

следовательно,

.

Но , значит:

. (14)

Далее

,

,

следовательно,

.

Но , поэтому

. (15)

С помощью (10`) находим:

,

а учитывая (14)

,

следовательно, при целом положительном

. (14`)

С помощью (11`) находим:

,

но в силу (15)

,

и, следовательно, при целом положительном

. (15`)


4. Интегральное представление бесселевых функций с целым индексом

Производящая функция системы функций

Рассмотрим систему функций (с любой общей областью определения), пронумерованных с помощью всех целых чисел:

Составим ряд

,

где – комплексная переменная. Предположим, что при каждом (принадлежащем области определения рассматриваемых функций) этот ряд имеет кольцо сходимости, содержащее внутри себя единичную окружность . В частности, это кольцо может представлять собой полную плоскость комплексной переменной без точек 0 и ∞.

Функция

(16)

(где x лежит в области определения функций системы , – внутри кольца сходимости, соответствующего рассматриваемому значению ) называется производящей функцией системы .

Обратно, пусть задана функция , где пробегает некоторое множество, находится внутри некоторого кольца, зависящего от , с центром 0 и содержащего внутри себя единичную окружность. Тогда, если при каждом аналитична относительно внутри соответствующего кольца, то есть производящая функция некоторой системы функций. В самом деле, разложив при каждом функцию в ряд Лорана по степеням :

,

найдем, что система коэффициентов этого ряда будет искомой системой .

Формулы для коэффициентов ряда Лорана позволяют выразить функции рассматриваемой системы через производящую функцию. Применяя эти формулы и преобразовывая затем интеграл вдоль единичной окружности в простой интеграл, получим:

. (17)

Производящая функция системы бесселевых функций с целыми индексами

Покажем, что для системы бесселевых функций первого рода с целыми индексами (…) производящая функция есть:

.

Имеем:

, ,

откуда после почленного перемножения этих равенств найдем:

(так как в предпоследней внутренней сумме и были связаны зависимостью , то мы могли положить , получив суммирование по одному индексу ). В последней внутренней сумме суммирование производится по всем целым , для которых , следовательно, при это будет ; при это будет . Таким образом, во всех случаях внутренняя сумма есть в силу формул (5`) и (5```). Итак,

, (18)

но это и доказывает, что есть производящая функция для системы .

Выведем некоторые следствия из формулы (18). Полагая в ней , получим:

,

откуда после разделения действительной и мнимой части (учитывая, что )

(18`)

(18``)

Заменяя в (18`) и (18``) на , найдем:

, (18```)

. (18````)

Интегральное представление Jn(x)

Так как, по доказанному, при имеем , то по формуле (17) получаем (используя в преобразованиях формулы Эйлера):

где принято во внимание, что есть четная функция от есть нечетная функция от . Итак, доказано, что для любого целого числа

. (19)

Формула (19) дает представление бесселевых функций с целым индексом в виде определенного интеграла, зависящего от параметра . Эта формула называется интегральным представлением Бесселя для , правая часть формулы называется интегралом Бесселя. В частности, при найдем:

. (19`)


5. Ряды Фурье-Бесселя

Рассмотрим на каком-либо интервале (конечном или бесконечном) два дифференциальных уравнения

, , (20)

где и – непрерывные функции на . Пусть и – ненулевые решения этих уравнений. Умножение на и на и последующее вычитание дают

.

Пусть и принадлежат и , тогда после интегрирования в пределах от до получим

. (21)

Если и – соседние нули решения , то между и сохраняет постоянный знак, пусть, например, на (, ) (в противном случае следует заменить на ), тогда , (равенство нулю исключено, так как – ненулевое решение дифференциального уравнения второго порядка). Если на , то должна, по крайней мере, раз обращаться в нуль между и , так как иначе сохранит постоянный знак на (,). Пусть, например, на (,) (в противном случае заменяем на ), и тогда из (21) получим противоречие, ибо левая часть ≤0, а правая >0. Таким образом доказана теорема сравнения Штурма: если P(x)<Q(x) на рассматриваемом интервале I и если y и z – ненулевые решения уравнений (20), то между каждыми двумя соседними нулями y(x) находится по крайней мере один нуль z(x).

Из теоремы сравнения Штурма вытекают нижеследующие следствия. Если на , то каждое ненулевое решение уравнения может иметь на не более одного нуля (это легко видеть, если положить и взять ). Если на (где ), то для всяких двух соседних нулей и () каждого ненулевого решения уравнения имеем (это легко видеть, если положить , взять и заметить, что нулями будут только числа вида , целое). Если на (где ), то для всяких двух соседних нулей каждого ненулевого решения уравнения имеем (это легко видеть, если положить и взять ). Из сказанного следует, что если на , то для всяких двух соседних нулей и () каждого ненулевого решения уравнения имеем .

Изложенное показывает, что если непрерывна на и превышает некоторое положительное число вблизи +∞, то каждое ненулевое решение уравнения имеет на бесконечно много нулей. Если еще вблизи не обращается в нуль, то эти нули образуют бесконечную возрастающую последовательность , имеющую пределом +∞, а если, кроме того, , где , то .

Рассмотрим уравнение Бесселя

на интервале . Подстановка приводит к уравнению

.

Очевидно, и имеют одни и те же нули. Так как , где – целая функция, то не имеет нулей на при достаточно малом , и так как при , то при каждом нули на образуют бесконечную возрастающую последовательность

причем .

Если , то удовлетворит уравнению

на интервале (0, +∞). Подстановка приводит к уравнению

и, следовательно, удовлетворяет этому уравнению. Таким образом, при любых положительных и имеем

, где ,

, где ,

откуда

,

следовательно,

, где . (22)

Пусть теперь . Разложение по степеням начинается с члена, содержащего , разложение по степеням начинается с члена, содержащего , так как коэффициент при равен нулю, что легко видеть, исходя из формулы (5). Следовательно, из (22) при получим

,

то есть

, (23)

откуда видно, что если и являются разными нулями функции , то

. (23`)

Этим доказано, что при система функций

на интервале является ортогональной относительно веса .

Переходя к пределу при в соотношении

и используя правило Лопиталя, получим при всяком

, (24)

следовательно, если является нулем функции , то

. (24`)

Таким образом, при каждом всякой непрерывной функции на , удовлетворяющей требованию

,

поставлен в соответствие ряд Фурье-Бесселя

, (25)

коэффициенты которого определяются формулами

. (25`)

Можно доказать, что система функций на , ортогональная относительно веса , замкнутая. В частности, если ряд Фурье-Бесселя (25) равномерно сходится к порождающей его непрерывной функции .

Можно показать, что если и непрерывная на и кусочно-гладкая на функция, то ряд Фурье-Бесселя этой функции сходится к ней при .


6. Асимптотическое представление бесселевых функций с целым индексом для больших значений аргумента

Пусть - положительная функция и - какая-нибудь (вообще комплекснозначная) функция, определенные для достаточно больших значений . Запись

при

означает, что найдутся такие числа и M, что при имеем .

Подобная запись употребляется и в других аналогичных случаях. Например, если - положительная функция и - какая-нибудь функция, определенные для достаточно малых положительных значений , то запись

при

означает, что найдутся такие числа и , что на .

Вспомогательная лемма

Если дважды непрерывно дифференцируема на , то для функции

имеет место асимптотическое представление

при .

Докажем эту лемму. Заменяя на , получим:

. (26)

Рассмотрим интеграл, фигурирующий в первом слагаемом правой части формулы (20). Заменяя на , найдем:

,

но, заменив на , получим:

.

Если положительна, убывает и стремиться к нулю при , то и , а следовательно, и есть при , поэтому

при ,

откуда

при .

Итак, получаем асимптотическое представление:

при . (27)

Рассмотрим теперь интеграл, фигурирующий во втором слагаемом правой части формулы (20). Имеем:

,

.

Очевидно, дважды непрерывно дифференцируема на , но существуют и , поэтому становится непрерывно дифференцируема на . Интегрирование по частям дает:

,

где первое слагаемое правой части есть при , а интеграл во втором слагаемом несобственный при нижнем пределе мажорируется интегралом

,

который сходится, так как

при ;

следовательно, второе слагаемое есть тоже при .

Итак, имеем:

при . (28)

Из (26), (27), (28) получаем искомое асимптотическое представление:

при . (29)

Из этой формулы, переходя к сопряженным величинам, найдем еще:

при . (29`)

Формулы (29) и (29`) верны и для комплекснозначных функций .

Вывод асимптотической формулы для Jn(x)

Заменяя на , получим:

(учитывая, что есть четная функция от , а есть нечетная функция от ). Подстановка дает:

,

где есть, очевидно, полином n-й степени (полином Чебышева), так как из формулы Муавра видно, что есть полином n-й степени относительно . Но

и, заменяя в первом из этих интегралов на , получим:

Так как и на имеют производные всех порядков, то к двум последним интегралам применимы формулы (29) и (29`), и мы получаем:

;

но ; , следовательно,

.

Итак, имеем искомое асимптотическое представление бесселевой функции первого рода с целым индексом для больших значений аргумента:

при . (30)

Эта формула показывает, что с точностью до слагаемого порядка является затухающей гармоникой с волной постоянной длины и амплитудой, убывающей обратно пропорционально квадратному корню из абсциссы.

В частности,

при ; (30`)

при . (30``)

Графики этих функций изображены ни рисунках 1 и 2.

Рассмотрим несколько примеров решения уравнения Бесселя.

1. Найти решение уравнения Бесселя при

,

удовлетворяющее начальным условиям при , и .

Решение.

На основании формулы (5`) находим одно частное решение:

.

2. Найти одно из решений уравнения:

, .

Решение.

Сделаем замену

.

При получим:

.

При будем искать решение в виде обобщенного степенного ряда:

.

Уравнение на имеет вид ;

, , , , поэтому

,

, .

Рисунок 1 – График функции y=J0(x)

Рисунок 2 – График функции y=J1(x)


Список литературы

1. Пискунов Н. С. «Дифференциальное и интегральное исчисления», учебное пособие для втузов, М: Наука, 1985г., 560 стр.

2. Романовский П. И. «Ряды Фурье. Теория поля. Аналитические и специальные функции. Преобразование Лапласа», учебное пособие для втузов, М: Наука, 1983г., 336 стр.


Нет нужной работы в каталоге?

Сделайте индивидуальный заказ на нашем сервисе. Там эксперты помогают с учебой без посредников Разместите задание – сайт бесплатно отправит его исполнителя, и они предложат цены.

Цены ниже, чем в агентствах и у конкурентов

Вы работаете с экспертами напрямую. Поэтому стоимость работ приятно вас удивит

Бесплатные доработки и консультации

Исполнитель внесет нужные правки в работу по вашему требованию без доплат. Корректировки в максимально короткие сроки

Гарантируем возврат

Если работа вас не устроит – мы вернем 100% суммы заказа

Техподдержка 7 дней в неделю

Наши менеджеры всегда на связи и оперативно решат любую проблему

Строгий отбор экспертов

К работе допускаются только проверенные специалисты с высшим образованием. Проверяем диплом на оценки «хорошо» и «отлично»

1 000 +
Новых работ ежедневно
computer

Требуются доработки?
Они включены в стоимость работы

Работы выполняют эксперты в своём деле. Они ценят свою репутацию, поэтому результат выполненной работы гарантирован

avatar
Экономика
Маркетинг
Информатика
icon
109993
рейтинг
icon
2705
работ сдано
icon
1238
отзывов
avatar
Математика
Физика
История
icon
103781
рейтинг
icon
5281
работ сдано
icon
2378
отзывов
avatar
Химия
Экономика
Биология
icon
74482
рейтинг
icon
1858
работ сдано
icon
1172
отзывов
avatar
Высшая математика
Информатика
Геодезия
icon
62710
рейтинг
icon
1046
работ сдано
icon
598
отзывов
Отзывы студентов о нашей работе
48 894 оценки star star star star star
среднее 4.9 из 5
Московский Университет имени С.Ю. Витте
Спасибо большое исполнителю. Работы принимаются без замечаний, всегда выполняются вовремя....
star star star star star
Пермский национальный исследовательский политехнический университет
Работа выполнена задолго досрочно! Никаких замечаний и недочетов! Спасибо большое Ирине!
star star star star star
НГТУ
Отличный исполнитель, все своевременно и даже быстрее, работа выполнена отлично!
star star star star star

Последние размещённые задания

Ежедневно эксперты готовы работать над 1000 заданиями. Контролируйте процесс написания работы в режиме онлайн

в любом формате

Решение задач, математические основы судовождения

Срок сдачи к 9 дек.

только что

Разработка IT-продукта

Курсовая, Анализ и моделирование бизнес-процессов

Срок сдачи к 8 дек.

1 минуту назад

География/физ-ра/обж 1 курс колледж. уровень простой.

Решение задач, География

Срок сдачи к 15 дек.

1 минуту назад

Прочитайте высказывания писателей и ученых. Выполните задания:

Контрольная, Русский язык

Срок сдачи к 23 дек.

2 минуты назад

Написать эссе на выбор из двух книг

Эссе, Социология

Срок сдачи к 15 дек.

2 минуты назад

решить не по правилу лопиталя

Решение задач, Математика

Срок сдачи к 7 дек.

3 минуты назад

Добрый день! Помогите, пожалуйста, решить 4 задачи:

Решение задач, физика

Срок сдачи к 8 дек.

3 минуты назад

Помочь решить задач (бух учет) 23 числа в 17:00

Тест дистанционно, Бухгалтерский учет

Срок сдачи к 23 дек.

3 минуты назад

Скрайбинг

Другое, Экология

Срок сдачи к 11 дек.

3 минуты назад

Задачи

Решение задач, Правоведение

Срок сдачи к 31 дек.

3 минуты назад
4 минуты назад

Выполнять задание ориентируясь на структуру работы

Контрольная, Психология

Срок сдачи к 13 дек.

5 минут назад

Нужно написать курсовую работу « Разработка базы данных»

Курсовая, Информатика и программирование

Срок сдачи к 18 дек.

5 минут назад

Реферат не более 15 страниц

Реферат, Физическая культура и спорт

Срок сдачи к 14 дек.

5 минут назад

судебный процесс в россии по соборному уложению 1649 г

Курсовая, история государства и права

Срок сдачи к 14 дек.

6 минут назад

Решить 3 задачи

Контрольная, Физика

Срок сдачи к 9 дек.

6 минут назад
planes planes
Закажи индивидуальную работу за 1 минуту!

Размещенные на сайт контрольные, курсовые и иные категории работ (далее — Работы) и их содержимое предназначены исключительно для ознакомления, без целей коммерческого использования. Все права в отношении Работ и их содержимого принадлежат их законным правообладателям. Любое их использование возможно лишь с согласия законных правообладателей. Администрация сайта не несет ответственности за возможный вред и/или убытки, возникшие в связи с использованием Работ и их содержимого.

«Всё сдал!» — безопасный онлайн-сервис с проверенными экспертами

Используя «Свежую базу РГСР», вы принимаете пользовательское соглашение
и политику обработки персональных данных
Сайт работает по московскому времени:

Вход или
регистрация
Регистрация или
Не нашли, что искали?

Заполните форму и узнайте цену на индивидуальную работу!

Файлы (при наличии)

    это быстро и бесплатно