Всё сдал! - помощь студентам онлайн Всё сдал! - помощь студентам онлайн

Реальная база готовых
студенческих работ

pencil
Узнай стоимость на индивидуальную работу!
icon Цены в 2-3 раза ниже
icon Мы работаем
7 дней в неделю
icon Только проверенные эксперты

Эрмитовы операторы

Тип Реферат
Предмет Математика
Просмотров
272
Скачиваний
857
Размер файла
25 б
Поделиться

Эрмитовы операторы

Эрмитовы операторы

Содержание

Линейные операторы

Линейные уравнения

Эрмитовы операторы

Линейные операторы

Пусть M и N — линейные множества. Оператор L, преобразующий элементы множества M в элементы множества N, называется линейным, если для любых элементов f и g из M и комплексных чисел λ и μ справедливо равенство

L(λ+ μg) = λLf + μLg (1)

При этом множество M = ML называется областью определения оператора L. Если Lf = f при всех f Є M, то оператор L называется тождественным (единичным) оператором. Единичный оператор будем обозначать через I.

Линейные уравнения

Пусть L — линейный оператор с областью определения ML . Уравнение

Lu = F (2)

называется линейным неоднородным уравнением. В уравнении (2) заданный элемент F называется свободным членом (или правой частью), а неизвестный элемент и из MLрешением этого уравнения.

Если в уравнении (2) свободный член F положить равным нулю, то полученное уравнение

Lu = 0 (3)

называется линейным однородным уравнением, соответствующим уравнению (2).

В силу линейности оператора L совокупность решений однородного уравнения (3) образует линейное множество; в частности, и = 0 всегда является решением этого уравнения.

Всякое решение и линейного неоднородного уравнения (2) (если оно существует) представляется в виде суммы частного решения ио этого уравнения и общего решения ŭ, соответствующего линейного однородного уравнения (3)

и = ио + ŭ.

Отсюда непосредственно выводим: для того чтобы решение уравнения (2) было единственным в ML, необходимо и достаточно, чтобы соответствующее однородное уравнение (3) имело только нулевое решение в ML . Пусть однородное уравнение (3) имеет только нулевое решение в ML. Обозначим через Rl область значений оператора L, т.е. (линейное) множество элементов вида {Lf}, где f пробегает ML. Тогда для любого F Є Rl уравнение (2) имеет единственное решение и Є ML , и, таким образом, возникает некоторый оператор, сопоставляющий каждому элементу F из Rl соответствующее решение уравнения (2). Этот оператор называется обратным оператором к оператору L и обозначается через L-1, так что

и = L-1F. (4)

Оператор L-1, очевидно, является линейным и отображает Rl на ML. Непосредственно из определения оператора L-1, а также из соотношений (2) и (4) вытекает:

L L-1F = F, F Є Rl ; L-1Lu = u, и Є ML,

т.е. L L-1=I, L-1L = I.


Если линейный оператор L имеет обратный L-1, то системы функций {φk} и {Lφk} одновременно линейно независимы. (При этом, естественно, предполагается, что все φk принадлежат ML.)

Рассмотрим линейное однородное уравнение

Lu = λu, (5)

где λ — комплексный параметр. Это уравнение имеет нулевое решение при всех λ. Может случиться, что при некоторых λ оно имеет ненулевые решения из ML. Те комплексные значения λ, при которых уравнение (5) имеет ненулевые решения из ML, называются собственными значениями оператора L, а соответствующие решения — собственными элементами (функциями), соответствующими этому собственному значению. Полное число r, 1 r , линейно независимых собственных элементов, соответствующих данному собственному значению λ, называется кратностью этого собственного значения; если кратность r = 1, то λ называется простым собственным значением.

Если кратность r собственного значения λ оператора L конечна и u1,...,и2соответствующие линейно независимые собственные элементы, то любая их линейная комбинация

u0 = c1u1 + c2u2 + ... + crur

также является собственным элементом, соответствующим этому собственному значению, и приведенная формула дает общее решение уравнения (5). Отсюда вытекает: если решение уравнения

Lu = λ u + f (6)


существует, то его общее решение представляется формулой

и = и* +∑сkиk, (7)

где и* — частное решение (6) и сk, k = l,2,...,r, — произвольные постоянные.

Эрмитовы операторы

Линейный оператор L, переводящий MLСL2(G) в L2(G), называется эрмитовым, если его область определения ML плотна в L2(G) и для любых f и g из Ml справедливо равенство

(Lf,g) = (f,Lg ).

Выражения (Lf, g) и (Lf, f) называются соответственно билинейной и квадратичной формами, порожденными оператором L.

Для того чтобы линейный оператор L был эрмитовым, необходимо и достаточно, чтобы порожденная им квадратичная форма (Lf, f), f Є Ml, где Ml плотна в L2(G), принимала только вещественные значения.

Линейный оператор L, переводящий Ml С L2(G) в L2(G), называется положительным, если Ml плотна в L2(G) и

(Lf, f) 0, f Є Ml .

В частности, всякий положительный оператор эрмитов.

Теорема. Если оператор L эрмитов (положительный), то все его собственные значения вещественны (неотрицательны), а собственные функции, соответствующие различным собственным значениям, ортогональны.

Доказательство. Пусть λ0 — собственное значение, u0 — соответствующая нормированная собственная функция эрмитова оператора L, L u0 = λ0u0. Умножая скалярно это равенство на u0, получим

(Lu0, u0) = (λ0 u0, u0) = λ0 (u0, u0) λ0|| u0||2 = λ0. (8)

Но для эрмитова (положительного) оператора квадратичная форма (Lf, f) принимает только вещественные (неотрицательные) значения, и, стало быть, в силу (7) λ0 — вещественное (неотрицательное) число.

Докажем, что любые собственные функции и1 и и2, соответствующие различным собственным значениям λ1 и λ2, ортогональны. Действительно, из соотношений

Lu1 = λ1 и1, Lu2 = λ2и2,

из вещественности λ1 и λ2 и из эрмитовости оператора L получаем цепочку равенств

λ112) = (λ и12) = (Lи12) = (и1,Lu2) = 12и2) = =λ212),

т.е. λ112) = λ212). Отсюда, поскольку λ1 λ2, вытекает, что скалярное произведение 12) равно нулю. Теорема доказана.

Предположим, что множество собственных значений эрмитова оператора L не более чем счетно, а каждое собственное значение конечной кратности. Перенумеруем все его собственные значения: λ12,..., повтори λk столько раз, какова его кратность. Соответствующие собственные функции обозначим через и12,… так, чтобы каждому собственному значению соответствовала только одна собственная функция иk:

Luk = λk , иk, k = 1,2,...

Собственные функции, соответствующие одному и тому же собственному значению, можно выбрать ортонормальными, используя процесс ортогонализации Шмидта. Всякая ортонормальная система {φk} состоит из линейно независимых функций. Всякая система ψ1,ψ2,... линейно независимых функций из L2(G) преобразуется в ортонормальную систему φ1,φ2, — следующим процессом ортогонализации Шмидта:

φ1 = ψ1 /||ψ2 || , φ2 = ψ2 – (ψ2, φ1) φ1 / || ψ2 – (ψ2, φ1) φ1 ||

φk = ψk – (ψk, φk-1)φk-1 – … – (ψk,φ1)φ1 / || ψk – (ψk, φk-1)φk-1 – … – – (ψk,φ1)φ1||

При этом опять получаются собственные функции, соответствующие тому же самому собственному значению. По доказанной теореме собственные функции, соответствующие различным собственным значениям, ортогональны.

Таким образом, если система собственных функций {ик} эрмитова оператора L не более чем счетна, то ее можно выбрать ортонормальной:

(Luk,ui ) = λkk,ui) = λkδki

Список литературы

1. Владимиров B.C., Жаринов В. В. Уравнения математической физики: Учебник для вузов. — М.: Физмат-лит, 2000.

2. Владимиров В. С. Уравнения математической физики. — Изд. 5-е. — М.: Наука, 1985.

3. Никольский СМ. Математический анализ.—Изд. 5-е. — М.: Физмат-лит, 2000.


Нет нужной работы в каталоге?

Сделайте индивидуальный заказ на нашем сервисе. Там эксперты помогают с учебой без посредников Разместите задание – сайт бесплатно отправит его исполнителя, и они предложат цены.

Цены ниже, чем в агентствах и у конкурентов

Вы работаете с экспертами напрямую. Поэтому стоимость работ приятно вас удивит

Бесплатные доработки и консультации

Исполнитель внесет нужные правки в работу по вашему требованию без доплат. Корректировки в максимально короткие сроки

Гарантируем возврат

Если работа вас не устроит – мы вернем 100% суммы заказа

Техподдержка 7 дней в неделю

Наши менеджеры всегда на связи и оперативно решат любую проблему

Строгий отбор экспертов

К работе допускаются только проверенные специалисты с высшим образованием. Проверяем диплом на оценки «хорошо» и «отлично»

1 000 +
Новых работ ежедневно
computer

Требуются доработки?
Они включены в стоимость работы

Работы выполняют эксперты в своём деле. Они ценят свою репутацию, поэтому результат выполненной работы гарантирован

avatar
Экономика
Маркетинг
Информатика
icon
110207
рейтинг
icon
2709
работ сдано
icon
1239
отзывов
avatar
Математика
Физика
История
icon
103883
рейтинг
icon
5284
работ сдано
icon
2381
отзывов
avatar
Химия
Экономика
Биология
icon
74482
рейтинг
icon
1859
работ сдано
icon
1174
отзывов
avatar
Высшая математика
Информатика
Геодезия
icon
62710
рейтинг
icon
1046
работ сдано
icon
598
отзывов
Отзывы студентов о нашей работе
48 903 оценки star star star star star
среднее 4.9 из 5
МГУ
Делает идеально , не слишком заумно, максимально подробно, все включено!)
star star star star star
Волгоградский государственный университет
Классно все сделал. Очень быстро. Красавчик. Буду еще обращаться к нему за работами.
star star star star star
Московский Университет имени С.Ю. Витте
Спасибо огромное исполнителю, работа выполнена очень быстро, без замечаний , оценка 90 бал...
star star star star star

Последние размещённые задания

Ежедневно эксперты готовы работать над 1000 заданиями. Контролируйте процесс написания работы в режиме онлайн

Решение задачи

Решение задач, международные расчеты

Срок сдачи к 9 дек.

только что

Решить 10 заданий только под буквой (а)

Решение задач, Элементарная Математика

Срок сдачи к 9 дек.

только что

Необходимо построить эпюру по заданию

Решение задач, Основы расчета строительных конструкций

Срок сдачи к 9 дек.

2 минуты назад

Решение двух самостоятельных работ и ДКР

Решение задач, семейное право

Срок сдачи к 23 дек.

2 минуты назад

Лабораторная, Физика

Лабораторная, Физика

Срок сдачи к 11 дек.

3 минуты назад

11 задач по высшей математике

Контрольная, Высшая математика

Срок сдачи к 11 янв.

3 минуты назад

Задача

Решение задач, техническая механика

Срок сдачи к 16 дек.

4 минуты назад

Написать эссе

Эссе, Современные методы и средства семейного воспитания

Срок сдачи к 10 дек.

5 минут назад

Камерное проектирование

Лабораторная, Геодезия

Срок сдачи к 14 дек.

5 минут назад

задача

Решение задач, техническая механика

Срок сдачи к 16 дек.

6 минут назад

Контрольная по предмету «Математика»

Контрольная, Математика

Срок сдачи к 9 дек.

6 минут назад

Я даю вам пароль от СДО, вы решаете 12 тестов.

Другое, Философия

Срок сдачи к 25 дек.

8 минут назад

Помощь в решении теста по навигации

Онлайн-помощь, Основы Навигации

Срок сдачи к 13 дек.

9 минут назад

Решить 4 задачи

Контрольная, Металлургия лёгких цветных металлов

Срок сдачи к 20 дек.

9 минут назад

Задание указано на картинках

Контрольная, Материаловедение

Срок сдачи к 16 дек.

10 минут назад

Речь

Шпаргалка, уголовный процесс

Срок сдачи к 12 дек.

10 минут назад

29 вариант

Решение задач, техническая механика

Срок сдачи к 16 дек.

11 минут назад

Россия и мир в xx – начале xxi вв.

Онлайн-помощь, История

Срок сдачи к 9 дек.

11 минут назад
planes planes
Закажи индивидуальную работу за 1 минуту!

Размещенные на сайт контрольные, курсовые и иные категории работ (далее — Работы) и их содержимое предназначены исключительно для ознакомления, без целей коммерческого использования. Все права в отношении Работ и их содержимого принадлежат их законным правообладателям. Любое их использование возможно лишь с согласия законных правообладателей. Администрация сайта не несет ответственности за возможный вред и/или убытки, возникшие в связи с использованием Работ и их содержимого.

«Всё сдал!» — безопасный онлайн-сервис с проверенными экспертами

Используя «Свежую базу РГСР», вы принимаете пользовательское соглашение
и политику обработки персональных данных
Сайт работает по московскому времени:

Вход или
регистрация
Регистрация или
Не нашли, что искали?

Заполните форму и узнайте цену на индивидуальную работу!

Файлы (при наличии)

    это быстро и бесплатно