Линейная Алгебра. Теория групп

Лекциипо общей алгебре

Лекция 1

Понятиебинарнойалгебраическойоперации

Говорят,что на множествеSопределена(бинарная)алгебраическаяоперация (АО)« *», еслидля всяких двухего элементовxиy однозначноопределенэлемент z=x*yназываемыйкомпозициейили произведениемэлементов xи y.

Примерамитаких операциймогут служитьобычные операциисложения, вычитанияили умноженияна множествевсех действительных(или комплексных) чисел, операцияумножения намножестве всехквадратныхматриц данногопорядка ,операциякомпозициина множествевсех перестановокиз Nэлементов,операция векторногоперемноженияна множествевсех векторовтрехмерногопространства.

Самопо себе понятиеАО являетсяслишком общим,чтобы допускатьсколько ни будьглубокое изучение.В алгебраическихтеориях обычнорассматриваютоперации, обладающиерядом дополнительныхсвойств. Перечислимнекоторые изних.

Свойствоассоциативности

(1)

Вовсех перечисленныхвыше примерахАО это свойствовыполняется,за исключениемоперации вычитанияи операциивекторногопроизведения.

Из свойства (1)вытекает, чтопроизведениелюбого числасомножителейоднозначноопределено,так как не зависитот того, как вэтом произведениирасставленыскобки, например

Разумеется,при этом нельзянарушать порядоксомножителей.

Наличиесвойстваассоциативностипозволяетопределитьстепень любогоэлемента снатуральнымпоказателем.А именно:

(nсомножителей).

Приэтом выполняютсяобычные правиладействий состепенями:

,

Свойствокоммутативности

(2)

Этосвойство выполняетсядля сложенияи умножениячисел, но нарушаетсядля умноженияматриц и композицииперестановок.

Разумеется,из (2) вытекает,что в случаеассоциативнойи коммутативнойАО мы имеемправо переставлятьлюбым способомсомножителив произведениилюбого их числа.

Крометого, в этомслучае

Наличиенейтральногоэлемента

(3)

Элементnв этомслучае называетсянейтральнымдля АО (*).

Дляоперации сложениячисел нейтральнымявляется числоноль, для операцииумножения -число единица. Для умноженияматриц нейтральнымэлементом будетединичнаяматрица, длякомпозицииперестановок- тождественнаяперестановка.В случае векторногоперемножениявекторов нейтральныйэлемент отсутствует.

Отметим,что в (3) кванторсуществованияпредшествуетквантору всеобщности,то есть элементnне зависитот выбора x.

Вслучае существованияединственногонейтральногоэлемента иассоциативностиоперации можноопределитьстепень с нулевымпоказателем:

для всякогоэлемента x.Упомянутыевыше свойствастепеней приэтом сохраняются.

Наличиеобратногоэлемента

Этопонятие имеетсмысл в случаеналичия нейтральногоэлемента дляоперации (*).

Элемент называетсяобратным дляэлемента x,если

(4)

Длясложения чиселобратный элементсуществуетдля любогочисла и равенпротивоположномучислу. Для умноженияобратный элементтак и называетсяи существуету любого числа,кроме 0. В случаеумноженияматриц обратныйэлемент равенобратной матрицеи существуетв том случае,если эта матрицаневырождена,то есть ееопределительне равен нулю.

Элементыдля которыхсуществуетобратный называютсяобратимыми.Из условия (4)сразу вытекает,что элемент всегда обратими обратным длянего будетисходный элемент x.Кроме того вслучае ассоциативнойоперации произведениедвух обратимыхэлементов сновабудет обратимымэлементом ипри этом .В самом деле: и аналогично

Еслиэлемент определеноднозначно,можно определитьстепени x с отрицательнымцелым показателем,а именно:

, где m=1,2,... . Приэтом сохраняютсяобычные правиладействий состепенями.

Замечание

Вконкретныхалгебраическихсистемахалгебраическаяоперация чащевсего обозначаетсялибо знаком(+) и называетсясложением ,либо знаком(.) и называетсяумножением.В первом случаеговорят обаддитивном,а во втором омультипликативномспособе записиоперации. Операциязаписаннаяаддитивно какправило считаетсякоммутативной.В этом случаевместо термина«обратный»используетсятермин «противоположныйэлемент»,который, естественно,обозначается(-x),а вместо степениэлемента говорято его кратных(nx).

Понятиегруппы

Определение

МножествоGна которомопределенабинарная операция(*) называетсягруппой (G,*),если выполняютсяусловия:

1. Операция(*) ассоциативна.

2. Дляоперации существуетнейтральныйэлемент.

3. Всеэлементы Gобратимы.

Примерыгрупп

1. R-группадействительныхчисел с операциейсложения. (аддитивнаягруппа действительныхчисел)

2. C- аддитивнаягруппа комплексныхчисел.

3. -группа ненулевыхдействительныхчисел с операциейумножения (мультипликативнаягруппа действительныхчисел)

4. -мультипликативнаягруппа комплексныхчисел.

5. - группаневырожденныхматриц порядкаnс действительнымиэлементами.(Аналогично,)

6. -группа перестановокмножества 1,2,..., n.

Вовсех этих примерахналичие свойств1- 3 не вызываетсомнений.

Преждечем приводитьдругие примерыгрупп укажемнекоторыепростейшиесвойства этихалгебраическихсистем. Во всехпоследующихформулировкахсчитается, чтоx,y, z, ... - элементынекоторойгруппы G.

1. Законсокращения

(левое сокращение)

(правое сокращение)

Докажем,например, первыйзакон. Используемсуществованиеобратногоэлемента исвойствоассоциативностиоперации.

y=z.

2. Единственностьнейтральногоэлемента

Влюбой группенейтральныйэлемент определеноднозначно.В самом деле,если иоба являютсянейтральными,то по определению

и в то же время,откуда .Единственныйнейтральныйэлемент группыGбудетв дальнейшемобозначатьсяили просто e.

3. Единственностьобратногоэлемента

Длякаждого элементаxобратныйэлемент определеноднозначно.В самом деле,если элементыyи zявляются обратнымидля x,то y*x=eи z*x=e,откудаy*x=z*xи по законусокращенияy=z.

4. Признакнейтральногоэлемента

Действительно,поскольку ,имеем , откуда по законусокращенияполучаем .

5. Разрешимостьлюбого уравненияпервой степени(существованиеобратной операции)

. Элемент z определеноднозначно.(Его можноназвать «частным»от деленияyна x).

Имеем:и значитможно взять.Однозначностьследует иззакона сокращения:.

Понятиеподгруппы

Определение

Группаназываетсяподгруппойгруппы ,если, во первых

(как подмножество) и, во-вторых,

(то есть законумножения наподмножествеHтакойже как и во всеммножестве G.)

Тотфакт, что является подгруппойв обозначаетсяс помощью символавключения:или просто.

Примерыподгрупп.

1. Целыечисла с операциейсложения (Z)образуютподгруппу вгруппе R,которая, в своюочередь являетсяподгруппойгруппы C.

2. Четныеперестановкиобразуют подгруппу в группе всех перестановок.

3. Матрицыс определителем1 образуют подгруппув группе всех невырожденныхматриц.

Чтобыпроверить,будет ли данноеподмножествоHв Gподгруппойнадо, очевидно,проверитьследующиеусловия :

3. .

Оказывается,что вместо трехэтих условийдостаточнопроверитьтолько одно.

Признакподгруппы

НепустоеподмножествоHв группеGбудетподгруппойэтой группытогда и толькотогда, когда:

. (5)

Доказательство.

Условие (4) очевидно следуетиз 1 -3. Проверимобратное утверждение.Взяв в (5) y=x,получим:,то есть выполненовторое условие.Теперь возьмем,тогда получим:и таким образомусловие 3. такжевыполнено.Наконец, взявв условии (5) ,получим ,то есть условие1.

Лекция№10

Мультипликативнаягруппа поля;Неприводимыемногочлены.

Свойствомультипликативнойгруппы поля.

Конечнаяподгруппамультипликативнойгруппы любогополя циклична.

Доказательство.

Проведемдоказательствоот противного.Пусть -конечная подгруппа.Предположим,что Gне являетсяциклическойгруппой. Рассмотримпервое каноническоеразложение:,где n>1и n| m. Тогда G, а значит исодержитподгруппу H.Для каждого(а всего в Hэлементов) имеем: .Поэтому уравнениев поле kимеет неменее корней, чтоневозможно,так как степеньэтого уравненияравна n.

Следствие.

Мультипликативнаягруппа конечногополя циклична.

Заметим,что этот результатнетривиалендаже для простейшихконечных полейGF(p). Образующиеэлементы группыназываютсяпервообразнымикорнями помодулю p.В следующейтаблице приведенынаименьшиепервообразныекорни по некоторыммодулям:

Неприводимыемногочленынад некоторымиполями.

1. Полекомплексныхчисел C. Имеет местофундаментальнаятеорема Гаусса:Всякий многочленположительнойстепени надполем Cимеет корень.Из нее вытекает,что над полемCнеприводимытолько многочленыпервой степени.

2. Полевещественныхчисел R. Чтобы перейтиот поля C к полю R,заметим, чтоотображение,сопоставляющеекаждому комплексномучислу zсопряженноечисло являетсяизоморфизмомполя на себя(автоморфизмом) и переводитполе Rв себя. Отсюдавытекает, чтодля всякогои всякого имеет местоформула: =(),где -многочлен скомплексносопряженнымикоэффициентами.Пусть теперь- многочленположительнойстепени. Потеореме Гауссаон имеет корень.Но, )= 0. Если ,то многочлены( x -)и ( x -) взаимнопросты и изделимостимногочленаp( по теоремеБезу) на ( x-)и на ( x -) следуетего делимостьна их произведение .Следовательно,над полем Rнеприводимымибудут , во первых,все многочленыпервой степени,а, во-вторых,те многочленывторой степени,которые неимеют корнейв R( то есть у которыхдискриминантотрицателен).Все прочиемногочлены- приводимы.

3. Полерациональныхчисел Q.

Еслиq ненулевоймногочлен срациональнымикоэффициентами,то, приводя ихк общему знаменателю,можно записать: q= ()=, где все коэффициентыцелые числа,ОНД()= 1 и ,>0. Легковидеть, чтомногочлен и число определеныоднозначно.Будем называтьпримитивныммногочленом,соответствующиммногочленуq.

Лемма: .

Длявсякого целочисленногомногочленаw = и простогочисла pобозначимчерез многочленнад полем GF(p),коэффициентыкоторого получаютсяиз соответствующихкоэффициентовw приведениемпо модулю p: .Очевидно, чтоотображениеявляется гомоморфизмомкольца Z[x]в кольцоGF(p)[x].Многочлен wбудетпримитивнымтогда и толькотогда, когда для любого p .Поскольку вкольце GF(p)[x]нет делителейнуля, отсюдаи вытекаетутверждениелеммы.

Такимобразом вопросо приводимостимногочлена над полемрациональныхчисел сводитсяк вопросу оразложениина множителименьшей степенимногочленас целыми коэффициентами.В этом направленииимеется следующеедостаточноеусловие неприводимости:

КритерийЭйзенштейна.

Еслидля многочленаq сцелыми коэффициентами q =удается найтитакое простоечислоp, что

1.ОНД(p , )= 1 2. 3. не делит то этотмногочленнеприводим.

Доказательство.

Предположим,что qприводимыймногочлен : q= uv. Тогда .По условиютеоремы =a,где a0.Значит, ,,где kделится на ,что противоречитусловию.

Примеры.

1. Многочлен неприводимнад полем Q.Достаточновзять p= 3 и применитькритерийЭйзенштейна.

2. Длявсякого n>0многочлен неприводимнад Q.Достаточновзять p=2в предыдущейтеореме. Отсюдавытекает, чтонад полемрациональныхчисел существуютнеприводимыемногочленылюбой степени.

   
   

4. Случайконечного поляGF(q).

Особенностьюэтого случаяявляется тотфакт, что имеетсятолько конечноечисло многочленовданной степении, в частности,неприводимыхмногочленов.Будем рассматриватьунитарныемногочленыстепени nнад GF(q).Такой многочленимеет вид: ,где ,.Значит, количествотаких многочленовОбозначимчерез количествоунитарныхнеприводимыхмногочленовстепени n. Можно указатьалгоритм, позволяющийпоследовательноперечислятьвсе такие многочлены впорядке возрастанияих степеней.Для n=1все многочлены(x - a ) неприводимы,поэтому .Если все неприводимыемногочленыстепени меньшеn ужеперечислены,составим всевозможныепроизведениянекоторыхстепеней такихмногочленов,так чтобы этипроизведенияимели степеньn.Все те многочленыстепени n,которые невошли в этомножество, ибудут неприводимымимногочленамистепени n.Разумеется,практическоеприменениеэтого алгоритматребует умениясовершатьарифметическиедействия в полеGF(q).Кроме того,количествовычисленийбыстро растетс ростом n(а также q). В следующейтаблице указанынекоторыенеприводимыемногочленынад полямиGF(p)для простыхp = 2,3,5.

Можнотакже указатьспособ вычислениячисла .Обозначим через,набор всехнеприводимыхунитарныхмногочленовстепени nнад полемGF(q),а через ,набор всехвообще унитарныхмногочленовстепени nнад тем же полем.Рассмотримследующеевыражение:

(Здесьи далее авториспользуетсокращенныеобозначения.Настоятельносоветуем читателюдля большейнаглядностииспользоватьразвернутуюзапись.) F=.Здесь количествослагаемых вкаждой скобкеи

количествосамих скобоквыбрано такимобразом, чтобыстепень каждогомногочлена,входящего вF былане выше n.Если раскрытьвсе скобки тополучится суммавсевозможныхвыражений вида:,где m- степеньвыписанногомногочленаи все .Соберем вместев сумму все слагаемыес данным значениемm.Полученнаясуммапри mnпредставляетсобой в точностисумму всехвообще унитарныхмногочленовстепени mпосколькукаждый такоймногочленоднозначнопредставимв виде произведениянеприводимых: .Таким образом,F = +...,где точки отвечаютслагаемым, вкоторых многочленыимеют степеньвыше n.Положим теперьдля всех iи m.Тогда и все ,так что получаем:F== .

Применяяформулы длясуммы геометрическойпрогрессии,находим:

F= =1/(1-tq). Логарифмируя,затем дифференцируяэто равенствои умножая результатна t,получаем: =.Коэффициентпри в правой частиравен .Соответствующийкоэффициентв левой частиравен суммеслагаемых видаm,причем встречаютсятолько те слагаемые,для которыхN кратноm.Итак, имеем:

.Отсюда непосредственнонаходим: ,,,и так далее.

Следствие.Над конечнымполем существуютнеприводимыемногочленылюбой степени.

Всамом деле,поскольку поопределению,из доказаннойформулы следует,что .Снова из тойже формулыполучаем: =.

Замечание.

Изприведенныхрассужденийвытекает, чтопри эквивалентно.Таким образом,примерно 1/Nчасть всехмногочленовстепени Nнад полемиз qэлементовнеприводима.

Лекция№11

Характеристикаполя;автоморфизмФробениуса.

Пусть k- произвольноеполе, его единица.Рассмотримотображение,действующеепо формуле t(n)= ne.Это отображениеявляетсягомоморфизмомколец. ПустьIZего ядро.Возможны дваслучая:

1. I={0}. В этом случаеговорят, чтохарактеристикаполя kравна 0.Посколькутогда при n0элементыne обратимы,t можнопродолжитьдо инъективногоотображенияT: Qk,положив: T(n/m)= ne* .Значит kсодержитподполе ImT .

2. I{0}.Тогда I= pZ и kсодержитIm Tв качествеподкольца. Вэтом случаеговорят, чтохарактеристикаполя kравна p.Заметим, чточисло pобязательнопростое, таккак в противномслучае Z/pZсодержитделители нуля.

Итак,если char(k)=0, то kсодержитподполе, изоморфноеполю рациональныхчисел Q,а если char(k)=p, то kсодержитподполе, изоморфноеконечному полюGF(p).

Примеры.

1. ПоляQ,R,C-очевидноимеют характеристику0.

2. Поле,содержащееконечное числоэлементов,очевидно имеетположительнуюхарактеристику.Рассмотримследующийпример. Пустьмножество Xсодержит4 элемента: 0, 1, a,b, которыескладываютсяи перемножаютсяв соответствиесо следующимитаблицами: Нетруднопроверить, чтоотносительновведенныхопераций Xявляетсяполем, причем0 - нейтральныйэлемент дляоперации сложения,а 1 - нейтральныйэлемент дляумножения.Поскольку 2*x = x + x =0, поле Xимеет характеристику2. Отметим, что(X,+),а .Поскольку полеX содержит4 элемента, внаших обозначенияхэто -GF(4).

3. Приведемпример бесконечногополя положительнойхарактеристики.Пусть k- произвольноеполе. Построимновое полеk(x) -поле рациональныхфункций надk.По определению,элементамиэтого поля, тоесть рациональнымифункциями,являются отношениямногочленов( то есть дроби)r = p/q,где p,qk[x],причем q0.Считается, что,если.Отсюда следует,что :(dp)/(dq) =p/q так что дробиможно приводитьк общему знаменателю,что дает возможностьих складывать:p/q + u/v =(pv)/(qv) + (qu)/(qv) =(pv+qu)/qv. Умножениедробей определяетсяестественнымобразом: (p/q)*(u/v)= (pu)/(qv). Отметим,что k[x]k(x)- каждый многочленpотождествляетсяс дробью p/1.Ясно, что этаконструкциядействительнодает поле. Еслив качестве kвзять конечноеполе GF(q)характеристикиp,то мы придемк бесконечномуполю GF(q)(x),которое такжеимеет характеристикуp.

Продолжениеалгебраическихтождеств впроизвольныеполя.

Любоетождество A= B, где AиB целые алгебраическиевыражения ( тоесть построенныеиз переменныхс использованиемтолько операцийсложения, вычитанияи умножения) с целыми коэффициентамиможет бытьперенесенов любое полеk, путем заменыкаждого целогоzZна соответствующийэлемент t(z)k (см.начало лекции).В случае поляхарактеристики0 такое перенесениевозможно и длявыражений срациональнымикоэффициентами,так как tпродолжаетсядо отображенияQ вk.Например, формулаТейлора длямногочленов:имеет смыслв любом полехарактеристики0, но в поле положительнойхарактеристикинекоторые изфакториалов,стоящих взнаменателе,могут обратитьсяв 0 и в таком видеформула неимеет смысла.Однако, еслипереписатьее в виде:

онабудет иметьсмысл и в полехарактеристикиq,если каждоецелое числоs,входящее в нее,заменить наостаток от деления наq.

Формулабинома Ньютона:имеет смыслв любом поле,посколькубиномиальныекоэффициенты- целые числа.

Лемма.

Еслиp простоечисло, то p|при s=1,2,...,p-1.

Действительно,=- целое число,так что каждыймножительзнаменателясокращаетсяс некоторыммножителемчислителя. Таккак sZи значит =pkпри s> 0.

Следствие.

Вполе kхарактеристикиp имеетместо формула:.В самом деле,все промежуточныеслагаемые вформуле биномавходят с нулевымикоэффициентами:=0.

ГомоморфизмФробениуса.

Пустьk -поле характеристикиp.Рассмотримотображение,действующеепо формуле:Ф(a) =.Только что мыпроверили, чтоФ(a+b) =Ф(a)+Ф(b).Кроме того,очевидно, чтоФ(ab) =Ф(a)Ф(b).Это означает,что Ф - гомоморфизмполя kв себя. Поскольку =0 a= 0, Ф инъективен.Если поле kконечноотсюда следует,что Ф взаимнооднозначно,то есть являетсяизоморфизмомполя kс самим собой(автоморфизмом). Ф называетсяавтоморфизмомФробениуса.Если k= GF(p), то поскольку - циклическаягруппа порядка( p-1),для всякого,то есть Ф(а) = а.Возвращаяськ случаю произвольногополя kхарактеристикиp заметим,что так какуравнение в поле kимеет неболее pкорней, этимикорнями будутв точности всеэлементы ,так что дляэлементов и невходящих вGF(p), Ф(а) а.Например, длярассмотренноговыше поля GF(4)характеристики2 (см. пример 2),имеем:

Ф(0)= 0 ; Ф(1) = 1 ; Ф(а) = b; Ф(b)= а.

Еслиq любоймногочлен надполем GF(p),k -некоторое полехарактеристикиp и ,тоФ())= Ф(), а потому, если- корень q,то Ф()также являетсяего корнем,причем отличнымот исходного,если .(Отметим очевиднуюаналогию скомплекснымкорнем многочленас вещественнымикоэффициентами;здесь рольавтоморфизмаФ играет комплексноесопряжение).

Пример.

Пустьq = - многочленнад полем GF(2),=а.Используятаблицы примера3, легко проверить,что .Значит, Ф()= = b такжебудет корнемэтого многочлена,причем не совпадающимс a.Это можно проверить«в лоб» илииспользоватьформулы Виета:

a+ b = 1 и ab= 1.

Замечание.

Вслучае бесконечногополя положительнойхарактеристикигомоморфизмФ может не бытьсюръективным.Например, дляполя GF(p)(x),построенногов примере 3,гомоморфизмФ, очевидно,действует поформуле: Ф(r(x))= r()и потому элементr = x не входит в егообраз.

Лекция 12

Расширенияполей.

Присоединениеэлементовбольшего поля.

Если k - подполеполя K, то говоряттакже, что K -расширениеполя k. Отметим,что при расширениисохраняетсяхарактеристикаполя. В самомделе, поле kхарактеристики0 содержит подполеизоморфноеQ - полюрациональныхчисел, а полеk характеристикиp>0 - подполе изоморфноеполю GF(p)- вычетов помодулю p. Поопределениюрасширениябольшее полеK содержит теже подполя и,следовательно,имеет ту жехарактеристику.

Напомним,что векторнымпространствомнад полем kназываетсятакое множествоX (векторов), длякоторого определеныоперации сложениявекторов иумножениявектора наэлемент поля(скаляр) соследующимисвойствами:

1. Относительносложения векторыобразуют абелевугруппу.

2. a(U+V)= aU+aV

3. (a+b)U= aU+bU

4. a(bU)= (ab)U

5. 1U=U.

Очевидно,что поле K можнорассматриватькак векторноепространствонад k: сложениевекторовинтепретируетсякак сложениеэлементов поляK, а умножениена скаляр какумножение втом же поле(ведь каждыйскаляр из k вто же времяявляется элементомK). Свойства 1 - 5вытекают изопределенияполя. Такимобразом, всеизвестные намрезультаты,относящиесяк векторнымпространствам,применимы кслучаю расширенияполей. В частности,можно говоритьо размерностиK над k. Это числоназываетсястепеньюрасширения и обозначается[K:k] . Если степеньрасширенияконечна, то исамо расширениеназываетсяконечным.

Примеры.

1. ПолеС комплексныхчисел являетсярасширениемполя Rвещественныхчисел. Так каккаждое комплексноечисло однозначнозаписываетсяв виде a+bi, то числа1 и i образуютбазис Снад Rи значит [C:R]= 2.

2. Рассмотримполе Rкак расширениеполя рациональныхчисел Q.Покажем, чтостепень расширениябесконечна.Для этого достаточнодля всякогоn указать линейнонезависимуюнад Qсистему вещественныхчисел. Положим,,,...,.Пусть для некоторыхрациональныхвыполненоравенство:=0.Тогда многочленс рациональнымикоэффициентамиq = имеет кореньx= .Однакотот же кореньимеет неприводимыймногочлен,который, следовательно,делит многочленq. Это возможнотолько в томслучае, когдамногочлен qнулевой, чеми доказанонаше утверждение.

Теоремао степени составногорасширения.

Пустьполе F являетсярасширениемполя k, а K - расширениеF. Тогда степеньрасширения[K:k] находитсяпо формуле:[K:k] = [K:F] [F:k].

Доказательство.

Пусть- базис K над F, а- базис F над k. Длявсякого U Kимеем: U = ,где .Но, ,где .Значит, всякийэлемент поляK записываетсяв виде линейнойкомбинациинад k элементоввколичествеnm штук. Остаетсяпроверить ихлинейнуюнезависимость.Если

=0,то посколькулинейно независимынад F, для всякого

i=1,...,n имеем=0. Нолинейнонезависимынад k и потомувсе.

Расширениепосредствомприсоединенияэлементов.

Пустьдано поле k иэлементы,принадлежащиенекоторомубольшему полюK. Наименьшее(по включению)подполе поляK, содержащееполе k и все элементыобозначаетсяk()и называетсярасширениемk посредствомприсоединенияэлементов.Если n=1, торасширениеназываетсяпростым, а соответствующийэлемент U называетсяпорождающимэлементомпростого расширения.

Примеры.

1. Есливсе,то k()=k.

2. Еслиk=R, U=a+biC,причем b0,то простоерасширениеR(U) совпадаетс С. Всамом деле,R(U) содержитU и все вещественныечисла. Но тогда

i= 1/b(U-a) R(U),а значит и любоекомплексноечисло p+qiR(U).

3. ПолеQ()содержит множествоX всех вещественныхчисел, которыеможно записать в виде a+b,где a,bQ.

Проверим,что X - поле и темсамым установим,что Q()=X. Напомним, чтоподмножествоT поля k будетполем тогдаи только тогда,когда

a)T содержит 0 и1.

b)Вместе с любымидвумя элементамиt и s T содержитих разностьt-s.

c)Вместе с любымидвумя элементамиt и s 0T содержит ихчастное t/s.

Условияa) и b) для X очевидновыполнены.Чтобы проверитьc) надо”уничтожитьиррациональность”в знаменателедроби (a+b)/(c+d).Из элементарнойалгебры известно,что для этогодостаточночислитель изнаменательумножить наc-d.Итак, [Q():Q]=2и базис составляютэлементы 1 и.

4.Поле Q()содержит.Но тогда онодолжно содержатьтакже и,а значит и всечисла видаa+b+c,где a,b,cQ.Отметим, чтозапись числав такой формеоднозначнапоскольку мыуже убедилисьв линейнойнезависимостичисел 1, ,надQ. Чтобыдоказать, чтовсе элементыполя уже построены,надо как и впредыдущемпримере уничтожитьиррациональностьв знаменателедроби (a+b+c)/(d+e+f).Это можно проделать,используятождество:-3xyz=(x+y+z)( -xy-xz-yz)=(x+y+z)S. Достаточновэять x=d, y=e,z=fи домножитьчислитель изнаменательна S. Следовательно,[Q():Q]=3 и базиссоставляютэлементы1, ,.

Анализируяприведенныепримеры, мывидим, что строениепростого расширениясущественнозависит оталгебраическойприроды порождающегоэлемента.

Всвязи с этимдадим следующееопределение.Пусть kK и UK.Элемент U называетсяалгебраическимнад k, еслион являетсякорнем полиномаpk[x]положительнойстепени. В противномслучае U называетсятрансцендентнымэлементом. Если p(U)=0 и p=qr, толибо q(U)=0, либоr(U)=0, поэтому найдетсятакой неприводимыймногочленsk[x],что s(U)=0. Если ещепотребовать,чтобы s былунитарным, тоон будет определеноднозначно.Это будет многочленнаимеьшейстепени, имеющийU своим корнем(минимальныймногочленалгебраическогоэлемента U ). Степеньминимальногомногочленаназываетсястепенью числаU над полем k.

Примеры.

1. Любоекомплексноечисло z являетсякорнем квадратногоуравнения надR: =0. Таким образомвсе комплексныечисла алгебраичнынад Rи степень ихне превосходит2.

2. ,- алгебраическиеэлементы надQ. Ониявляются корняминеприводимыхуравнений-3=0 и-2=0 соответственно,так что их степени- 2 и 3.

3. Можнодоказать(весьманепросто!), чточислаи е трансцендентнынад полем Q.

Строениепростых алгебраическихрасширений.

Теорема.

ЕслиU алгебраическийнад k элементстепени n, то[k(U):k]=n и в качествебазиса можновыбрать элементы1, U, .

Доказательство.

Ясно,что U и все егостепени входятв k(U). Пусть pk[x]- минимальныймногочленэлемента U. Тогда=.Умножая обечасти этогоравенства на,получаем, чтопри mnвыражаетсянад k в виде линейнойкомбинациименьших степенейU. В то же времяэлементы 1, U,...,линейно независимынад k, так какв противномслучае U былобы корнем уравнениястепени меньшеn, что невозможно.Остается проверитьчто множествоX={}является полем,для чего достаточноустановить,что элементx=1/Положим: q=.Так как степеньэтого многочленаменьше n, ОНД(p,q)=1.По основнойтеореме теорииделимости длямногочленовможно подобратьтакие многочленыs и t над полемk, что sq+tp=1. Но тогдаs(U)q(U)=1 и следовательноx= s(U) k.

Пример.

Пустьk=Q, U=.Тогда,откуда=24. Значит U алгебраическоечисло, являющеесякорнем уравненияp= +1=0.Решая этобиквадратноеуравнениеопределим всеего корни: x=.Если бы многочленp был приводим,он имел бы надQ делитель вида(x-a) или (x-a)(x-b) , где a,bнекоторые изуказанных вышекорней. Однаконепосредственнаяпроверка показывает,что ни один изэтих многочленовне имеет рациональныхкоэффициентов.Поэтому степеньчисла U равна4 и базис в расширениисоставляютчисла : 1, U=,, .Вместо них вбазис можновключить 1,,,.Отсюда вытекает,что Q()=Q()и таким образомприсоединениедвух элементовиравносильноприсоединениюединственногоэлементa.Можно доказать,что всякоеконечное расширениеполя характеристики0 является простымалгебраическимрасширениеми таким образомдля его построениядостаточнок исходномуполю присоединитьодин единственныйэлемент.

Лекция 13

Расширенияполей.

Формальноеприсоединениеэлементов.

На прошлойлекции былопоказано, чтоисходное полеk можно расширитьдобавляя элементыиз некоторогобольшего поля.В случае простогоалгебраическогорасширениядобавляетсяединственныйэлемент U, являющийсякорнем некоторогонеприводимогомногочленанад k степениn. Это приводитк полю k(U), котороебудет расширениемстепени n исходногополя k.

Оказывается,что конструкциюприсоединенияможно провести“изнутри”, невыходя в большееполе K. Идея этогопостроенияраскрываетсяв следующейтеореме.

Теорема.

Пустьpk[x]- неприводимыймногочлен надk, U - его кореньв некоторомбольшем полеK, (p) =pk[x] k[x]- главный идеалс образующимэлементом p.Тогда k(U) k[x]/(p).

Доказательство.

Определимотображение:k[x]k(U) формулой(q)=q(U).Посколькукаждый элементVk(U)может бытьзаписан в видемногочленаот U, сюръективно.По теореме огомоморфизмеk(U) k[x]/Ker.Остается доказать,что Ker= (p). Если q=pd, тоq(U)=p(U)d(U) = 0 и таким образом(p) Ker.Обратно, еслиq(U) = 0 то посколькуp неприводими p(U) = 0 , p | q и значитKer (p).

Следствие.

Еслии корни одногонеприводимогонад k многочлена,то поля k()и k()изоморфны,причем при этомизоморфизмекаждый элементполя k отображаетсяна себя.

Замечание.

ПолеF = k[x]/(p), для своегопостроенияне требуетзнания большегополя K, в которомлежит корень неприводимогомногочленаp. Поле F содержитk. Рассмотриместественныйгомоморфизмt: k[x] F и определимэлемент U поляF равенствомU= t(x). Тогда, очевидно,p(U) =0 . Теперь толькочто доказаннаятеорема позволяетутверждать,что Fk(U).Такой способприсоединенияновых элементовк полю называетсяформальным.Отметим, чтоименно так былопостроено полеC комплексныхчисел исходяиз поля вещественныхчисел R:мнимую единицуi мы присоединили,как корень(неприводимогонад R)многочлена.Присоединениебыло формальнымв вышеуказанномсмысле, так какнаходясь вобласти вещественныхчисел, мы неможем указатькорень этогомногочлена.

Примеры.

1. Пустьk = Q, U =.Тогда p=имеет корниU, U,U,где -кубическийкорень из 1.Согласно толькочто сформулированномуследствию,поля k=k(U) и k=k(U)изоморфны,хотя они и состоятиз элементовразличнойприроды: всечисла из поляk действительные,а для k это ужене так.

2. Рассмотримk = GF(2) инеприводимыймногочлен p=+x+1 над этим полем.Нам неизвестноникакое большееполе K, в которомследует искатькорни этогомногочлена.В соответствиис только чтодоказаннойтеоремой рассмотримполе K=k[x]/(p). Всякийего элементможно записатьв виде a+bU, где a ,bGF(2),причем +U+1= 0 . Поле K поэтомусодержит 4 элемента:0 = 0+0U; 1=1+0U; U =0+1U; V = 1+1U. Поле Kявляется расширениемполя GF(2)и потому имеетхарактеристику2. С учетом этогообстоятельстваего элементыскладываютсяочевиднымобразом. Чтокасается умножения,то (как и во всякомполе) (a+bU)(c+dU) = ac+(ad+bc)U+bdиостаетсявоспользоватьсяравенством=U+1.Например, U(U+1) =+U=1 так что элементыU и U+1 взаимнообратны. ПолеK обозначаетсяGF(4). В неммногочлен pимеет кореньU. Другим корнемp в том же полебудет V = U+1. Значитв поле GF(4) многочленp раскладываетсяна множителипервой степени:p = (x+U)(x+U+1).

Полеразложениямногочлена.

Пустьpk[x]произвольныймногочленстепени n. Разложимего в произведениенеприводимыхмногочленов:p =.Присоединяяк k корень многочленаp построим новоеполе,в котором p = (x-a),где многочленынеприводимынад.Теперь присоединимк кореньмногочленаи так далее. Врезультатене более чемчерез n шаговмы придем кполю K в котороммногочлен pраспадается,то есть раскладываетсяв произведениемногочленовпервой степени:p=

Определение.

Построенноетаким образомполе K называетсяполем разложениямногочленаp. Это - наименьшееполе, содержащееk и все корнимногочленаp: K = k().

Примеры.

1. Унас уже появлялисьполя разложения.Так мы видели,чтоQ()-поле разложениямногочленаQ[x],Q()- поле разложениямногочленаQ[x],GF(4) - полеразложенияGF(2)[x].

2. Построимполе разложениядля p = Q[x].Заметим, чтополе=Q()таковым неявляется; вэтом поле p =и второй множительq неприводимдаже над R,поскольку егодискриминантменьше нуля.Поле разложенияK получится,если мы присоединимк полю одиниз корней уравненияq(x) = 0, то есть величину,где -кубическийкорень из 1.Впрочем, поскольку,достаточноприсоединить.Первое расширениеимеет базис1, ,.Второе - 1, .По теореме остроении составногорасширения, базис K над Qсоставляютэлементы: 1,,,,,и [K:Q]=6. Заметим, что=K, хотя в отдельностини i нине входят в K.

Замечание.

Можнодоказать ( мыэтого делатьне будем), чтополе разложенияданного многочленаопределенооднозначнос точностьюдо изоморфизма.

Строениеконечных полей.

Теоремао количествеэлементовконечного поля.

ПустьK расширениеконечного поляk степени n. Еслиk содержит qэлементов, тоK содержит элементов.

Доказательство.

Пусть-базис расширения.Любой элементполя K однозначнозаписываетсяв виде:,гдеk.Отсюда и вытекаетнаше утверждение.

Следствие.

Количествоэлементовконечного поляk характеристикиp равно.В самом деле,kGF(p).

Какнам известно,над полем GF(p)существуютнеприводимыемногочленылюбой степени. Присоединяя( формально) кGF(p) кореньтакого многочленастепени n, мыполучим расширениеKGF(p)степени n. Итак,имеем следующееутверждение.

Теоремасуществованиядля конечныхполей

Длявсякого натуральногоn и простого pсуществуетконечное полеиз элементов.

Рассмотримтеперь многочленt =,где q = над полем GF(p).Пусть K какоелибо поле, содержащеевсе корни этогомногочлена,так что в K .Отметим, чтосреди элементовнет одинаковых.В самом деле,, так что ОНД(t,)= 1 и t не имееткратных корней.

Теорема.

МножествоT = {}Kявляется полемиз q элементов.

Доказательство. Надопроверить, чтои 1. ,Но. Значит,

2..

Следствие.

ПолеT изэлементовявляется полемразложениямногочленанад GF(p).

Посколькуполе разложениямногочленаопределенооднозначнос точностьюдо изоморфизма,мы вправе ввестидля него специальноеобозначение.Это поле называетсяполем Галуа в честьфранцузскогоматематикаЭвариста Галуаи обозначаетсяGF().

Пустьтеперь K любоеполе из элементов. Какнам известно,группа K* - циклическаяпорядка q-1. Поэтомудля любого,а потому для всех безисключенияэлементов K.Таким образомвсякий элементxKудовлетворяетуравнению =0 и KGF(q).Поскольку онисостоят изодинаковогочисла элементов,мы получаем:

Теорема.

Любоеконечное полеизоморфноGF().

Следствие.

Всякийнеприводимыйнад GF(p)многочлен sстепени n являетсяделителеммногочленаd =.

Всамом деле,присоединяяк GF(p) кореньмногочленаs, мы получаемполе изэлементов.Следовательно,этот кореньсодержитсяв GF()и неприводимыймногочлен sделит d.

Отметим,что после этогоприсоединенияполучаетсяполе разложениямногочленаs.

Следствие.

Полеразложениялюбого неприводимогомногочленаs степени n надGF(p) получаетсяв результатеприсоединенияодного единственногокорня этогомногочленаи изоморфноGF(). Многочлен s неимеет корнейв полях GF()при l

Теоремао подполяхконечных полей.

ЕслиkGF(),то kGF(), причем m | n. Обратно,для всякогоделителя m числаn в поле GF()существуетединственноеподполе из элементов.

Доказательство.

Посколькуk имеет характеристикуp оно состоитиз q = элементов.Поле GF()можно рассматриватькак расширениестепени l поля k и, следовательнооно состоитизэлементов, такчто n = ml. Обратно,посколькуkGF(),всякий егоэлемент удовлетворяетуравнению= x. Это уравнениеимеет не болеекорней в полеGF(),и значит еслитакое подполесуществует,его элементыопределяютсяоднозначно.Остается доказать,что при n = ml уравнение= x имеет ровнокорней в GF().Проверим, что.Обозначими заметим, чточисло целое.Имеем: .Таккак y =1 кореньчислителя, тоделение выполняетсянацело. Посколькув поле GF()многочленраспадается,то же верно идля его делителяи потому этотмногочленимееткорней.

Теоремао действииавтоморфизмаФробениуса.

АвтоморфизмФробениусаФ: циклическипереставляеткорни любогонеприводимогомногочленастепени n надGF(p).

Доказательство.

Пустьs заданный многочлени a один из егокорней. ТогдаФДостаточнопроверить, чтовсе элементыa, Ф(a), ...., Фпопарно различны.Допустим, чтоФ(a)=Ф(a),то есть,где i.Таким образомa содержитсяв поле разложениямногочлена,то есть в GF().Поскольку v

Лекция 2

Смежныеклассы; разложениегруппы по подгруппе.

Условимсяо следующихобозначениях.Если A и B дваподмножествагруппы G, то A*Bобозначаетмножествовсевозможныхпроизведенийэлементовпервого из нихна элементывторого, а - множествовсех обратныхэлементов изA. В этих обозначениях,например, условие,при которомA является подгруппойG можно записатьв виде:

Определение

Пустьx некоторыйфиксированныйэлемент группыG, а H - любая ееподгруппа.Множество x*Hназываетсялевым, а H*x - правымсмежным классомгруппы по подгруппе.

Например,очевидно, что*H=H*=H,так что подгруппаН сама являетсяодним из смежныхклассов.

Свойствасмежных классов

1. Отображение,определенноеформулой являетсявзаимно однозначнымдля всякого.

2. Каждыйэлемент x входитв смежный классx*H.

3. Еслиy входит в смежныйкласс x*H , то y*H=x*H

4. Еслиy не входит всмежный классx*H, то

(Свойства1- 4 сформулированыдля левых смежныхклассов, ноаналогичнымисвойствамиобладают иправые).

Доказательство.

1. сюръективнопо определениюсмежного класса.Если, то есть , то по законусокращения,то есть инъективно.

2. Поскольку входит вподгруппу H,x=x* входит всмежный классx*H.

3. Пустьy=x*h и ,то есть z= Тогда z=(x*h)* = x*(h*)и значит входитв класс x*H. Такимобразом, .Обратноевключениевытекает изтого, что и значитвходит в y*H.

4. Докажемот противного.Пусть классыx*H и y*H пересекаютсяи элемент z входитв каждый изних, так что.Тогда что противоречитнашему предположению.

Следствие

Еслиподгруппа Hконечна, то вселевые смежныеклассы содержатодинаковоечисло элементов,равное порядкуэтой подгруппы.(Следует изсвойства 1.)

Вкачестве примерарассмотримгруппу перестановокиз 3 элементов.Составим длянее таблицуумножения. Этагруппа состоитиз 6 элементов.

Клеткатаблицы, стоящаяв i-ой строке ив j- ом столбцесодержит номерэлемента, равного.Она имеетследующий вид:

РассмотримподмножествоH в состоящееиз элементови .(Будем писать:H={1,2}). Легко видеть,что H - подгруппа.(Заметим, что). Пользуясьтаблицей умножениянаходим левыесмежные классы:

,,.Таким образом,имеем 3 различныхлевых смежныхкласса {1,2}, {3,4}, {5,6}.Аналогичностроятся правыесмежные классы:{1,2}, {3,5}, {4,6}.

Возьмемтеперь {1,4,5}.- подгруппачетных перестановок. Для нее левыеи правые смежныеклассы совпадаюти состоят изэлементов{1,4,5} и {2,3,6}.

Определение

Индексом[G:H] подгруппыH в группе G называетсяколичестворазличных левыхсмежных классовG по H (если оноконечно).

ТеоремаЛагранжа

ЕслиG конечная группаи H ее подгруппа,то

ord(G)={G:H]*ord(H)

(Здесьord( ) обозначаетпорядок группы).

Доказательство

Пусть- полный переченьлевых смежныхклассов G по Hи класс содержит элементы. Тогда m - индекс[G:H] , а n - порядокH (по следствиюиз предыдущейтеоремы). Посвойству 3. всеэлементы попарно различныи по свойству2. исчерпываютсписок элементовгруппы G. Значит,m*n=ord(G), что и требовалось.

Следствие

Порядокподгруппы делитпорядок конечнойгруппы.

Всамом деле,число ord(G)/ord(H)=[G:H] являетсяцелым.

Замечанияо таблицахумножения

Мыуже видели, чтоработая с конкретнойконечной группойG, удобно иметьперед глазамиее таблицуумножения. Этатаблица называетсятаблицей Кэли.Ее можнопостроить длявсякой АО наконечном множестве. Для этого элементымножества надозанумеровать: .В i- ой строке таблицы записываютсяэлементы: . Заметим, что в случае, еслиАО превращаетмножество вгруппу G,все эти элементыпопарно различны,как это вытекаетиз закона сокращения.Поскольку ихчисло равнопорядку G, каждаястрока таблицыКэли являетсянекоторойперестановкойэлементовгруппы . Например,если для группыусловиться,что ,первая строкабудет тождественнойперестановкой.Аналогично,перестановкойэлементовгруппы будети каждый столбец.В частности,таблица неимеет одинаковыхстрок или столбцов.Оказывается,что если элементумножествасопоставитьi - ую строку таблицыКэли, то произведению(произведениеотносительноАО !) , будет вслучае, еслиАО ассоциативна, отвечатьперестановка,равная произведениюсоответствующихперестановок.В самом деле,по правилуперемноженияперестановокимеем:

Некоторыесвойства АОнаглядно проявляютсяв устройствеее таблицыКэли. Например,коммутативностьумноженияпроявляетсяв симметричноститаблицы относительноглавной диагонали.Напротив, свойствоассоциативностине имеет стольнагляднойинтерпретациив устройствеее таблицыумножения.

Нормальныеподгруппы

ПустьG - произвольнаягруппа и H - ееподгруппа.Рассмотриммножество{ }всех попарноразличных левыхсмежных классовG по H.

Определение

ПодгруппаH называетсянормальнойв G (обозначение:),если произведениелюбых двухлевых смежныхклассов такжепредставляетсобой левыйсмежный класс.

Итак,нормальностьподгруппы Hозначает, что

Произведение(x*H)*(y*H) содержит,в частности,элемент (x*e)*(y*e)=x*y изначит, еслиэто произведениеявляется смежнымклассом, этоможет бытьтолько класс(x*y)*H. Поэтомуопределениенормальнойподгруппыпринимаетследующий вид:H нормальна вG, если для любыхx и y

(x*H)*(y*H)=(x*y)*H. (1)

Теорема(признак нормальнойподгруппы)

Hнормальна вG тогда и толькотогда, когда выполненоследующееусловие: каждыйправый смежныйкласс H*x совпадаетс левым смежнымклассом x*H.

Доказательство

ПустьH нормальна вG то есть выполнено(1). Возьмем в этомравенстве x=e,тогда получаем,что H*y*H=y*H, откудаследует, что.Запишемэто равенстводля элемента:.Умножая этовключение слеваи справа на yполучим :,то есть . Таким образом,классы H*y и y*H совпадают.Обратно, еслиH*y=y*H, то (x*H)*(y*H)=x*(H*y)*H=x*(y*H)*H= (x*y)*H*H =(x*y)*H, то есть (1) выполнено.

Замечание1.

РавенствоH*x=x*H можно записатьв равносильнойформе: . Проверим, чтомножество, стоящее в левойчасти этогоравенства является подгруппойв G для всякого.Используемпризнак подгруппы: так как H являетсяподгруппойи потому .

Каждаяиз подгруппназываетсяподгруппойсопряженнойс H. Условиенормальностипоэтому можноеще сформулироватьтак. ПодгруппаH группы G нормальна,если

Замечание2.

Вкоммутативнойгруппе левыеи правые смежныеклассы очевидносовпадают ипотому в этомслучае любаяподгруппа будетнормальной.В некоммутативномслучае могутвстречатьсяи подгруппы,не являющиесянормальными.Например, вернемсяк группе и ее подгруппеH. Как мы виделивыше, левые{1,2}; {3,4); {5,6} и правые

{1,2};{3,5}; {4,6} классы поэтой подгруппене совпадаюти значит H нормальнойне является.Легко посчитать,что, например,{3,4}*{5,6}={1,2,5,6} так что этомножествосмежным классомне является.Напротив, - нормальнаяподгруппа в и ее классы

={1,4,5}и ={2,3,6)перемножаютсяпо правилу.

Факторгруппа

ПустьH - нормальнаяподгруппагруппы G. Обозначимчерез G/H множествовсех попарноразличныхсмежных классов(безразлично, левых или правых).Как нам известно,(x*H)*(y*H)=(x*y)*H, так что намножестве G/HопределенаАО. Эта операция,очевидно,ассоциативна.Поскольку H=,H*(x*H)=(x*H)*H=x*H и значитсмежный классH являетсянейтральнымэлементом дляэтой АО. Наконец,

так что каждыйсмежный классобратим. ПоэтомуG/H оказываетсягруппой, называемойфакторгруппойгруппы G понормальнойподгруппе H.

Примеры

1. Мыуже построиливыше факторгруппуS(3)/A(3). Имеется 2смежных классаи с таблицейумножения:

2. Каждый левыйсмежный классA*SL(n,R) вгруппе GL(n,R)состоит из всехматриц, определителькоторых равенd=det(A). Аналогичноеописание вернои для правогокласса SL(n,R)*A,который, такимобразом, совпадаетс левым и SL(n,R)GL(n,R).Обозначим этотсмежный класссимволом C(d). Здесьd - любое ненулевоевещественноечисло. Посколькупри перемноженииматриц ихопределителитакже перемножаются,C(d)*C(b)=C(db). Этим полностьюописана факторгруппаGL(n,R)/SL(n,R).

3. Пусть n=1, 2, ... , Целыечисла кратныеn образуют подгруппуnZ группыZ. Так какгруппа Zкоммутативна,эта подгруппанормальна.Каждый смежныйкласс p+nZсостоит из всехцелых чисел,дающих приделении на nтакой же остатокr что и числоp. Обозначимэтот смежныйкласс символомC(r) Поскольку r=0, 1, ... (n-1), факторгруппаимеет порядокn. При этомC(r)+C(s)=C(r+s), причем имеетсяв виду, что еслиr+s>n-1, необходимозаменить r+s наr+s-n (сложение помодулю n).

Лекция 3

Изоморфизмыи гомоморфизмы

Определение

Пустьи две группы инекотороеотображение.называетсяизоморфизмом,а группы и - изоморфными(однотипными),если

1. - взаимно однозначнои

2. .

Изоморфизмгрупп и обозначаетсясимволом .

Есливыполненотолько условие2. , то отображениеназываетсягомоморфизмом(подобием).

Примеры

1.Пусть группыи заданы таблицамиумножения:

и

Отображениеявляетсяизоморфизмом.( При всякомизоморфизмепросто меняютсяобозначенияэлементов.“Внутренняяструктура”группы остаетсянеизменной).

2.Пусть =Z(группа целыхчисел с операциейсложения), - группа изпредыдущегопримера. Положим:(2n)=p;(2n+1)=q.

Тогда- гомоморфизм.

3. ПустьH - нормальнаяподгруппа вG и G/H соответствующаяфакторгруппа.Напомним, чтоее элементамиявляются всевозможныесмежные классыx*H, где .Определимотображениеформулой: (x)=x*H. Посколькусмежные классыперемножаютсяпо формуле(x*H)*(y*H)= (x*y)*H, отображениеявляетсягомоморфизмом.Оно называетсяестественнымгомоморфизмомгруппы нафакторгруппу.

Простейшиесвойствагомоморфизмовгрупп.

Пусть- гомоморфизм.Тогда:

2. .

3. Если-подгруппа, то-подгруппа в.

4. Если- (нормальная)подгруппа, то- (нормальная)подгруппа в.

Доказательство

1. Пусть- любой элемент.Тогда и по признакунейтральногоэлемента .

2. Имеем:.По признакуобратногоэлемента получаем:.

3. Применимпризнак подгруппы:

4. Пусть- подгруппа.-элементы из,то есть ивходят в К. Тогдаи потому.Значит, - подгруппа .Пусть теперьК - нормальнаяподгруппа и- любой элемент.Тогда и значит.Аналогично,. Поскольку ,то и ,то есть подгруппанормальна в.

Замечание

Образнормальнойподгруппы невсегда нормален.

Издоказаннойтеоремы следует в частности,что для всякогогомоморфизма подгруппа в.Она называетсяобразом гомоморфизмаи обозначаетсяIm .Точно также,- подгруппа в,причем нормальная,посколькутривиальнаяподгруппа {e}нормальна влюбой группе.Она называетсяядром гомоморфизмаи обозначаетсяKer .

Инъективныеи сюръективныегомоморфизмы.

Напомним,что отображениеназываетсяинъективным,если оно переводитразличныеэлементы изX в различныеэлементы Y исюръективным,если его образсовпадает совсем Y. Например,естественныйгомоморфизмгруппы на подгруппусюръективен.Из определениясразу следует,что гомоморфизм cюръективентогда и толькотогда, когдаIm .

Критерийинъективностигомоморфизмагрупп

Гомоморфизмгрупп инъективентогда и толькотогда, когдаKer ={}.

Доказательство

Поскольку,и значит, еслиинъективнов ядре не можетбыть другихэлементов итаким образомKer ={e}. Обратно, пустьядро состоит толькоиз нейтральногоэлемента и x иy - два такихэлемента ,что .Тогда и значит и потому равно. Отсюда получаемx=y и инъективно.

Следствие

ЕслиKer ={e}, то изоморфноотображаетна подгруппуIm .

ТеоремаКэли

Всякаяконечная группапорядка n изоморфнаподгруппегруппы перестановокиз n элементов.

Доказательство

ПустьG={}-группа порядкаn. Составим длянее таблицуКэли. В i-ой строкеэтой таблицывыписаны элементы,которые толькопорядком следованияотличаютсяот первоначальногонабора элементовгруппы. Обозначимполученнуюперестановку.Определимотображениепо формуле .Как нам известно,произведениюэлементовгруппы G отвечаеткомпозицияперестановок,то есть -гомоморфизм. Если,то, в частности,и значит.Таким образом,Kerтривиальноиопределяетизоморфизммежду G и подгруппойIm в .

Теоремао гомоморфизмедля групп

Пустьсюръективныйгомоморфизм.Тогда факторгруппаизоморфна .Если эти изоморфныегруппы отождествить,то превращаетсяв естественныйгомоморфизм.

Доказательство

ОбозначимH=ker .Следующимобразом определимотображение

.Пусть С произвольныйэлемент то есть некоторыйсмежный классгруппы по ее подгруппеH. Возьмем любой. Тогда не зависит отвыбора элементаx. В самом деле,если любой другойэлемент, тоy=x*h, где и значит, .Положим: .Используяправило перемножениясмежных классов,получаем:Ф((x*H)*(y*H)) =Ф((x*y)*H)= = Ф(x*H)Ф(y*H),то есть построенноеотображение- гомоморфизм.Если любой элемент,то посколькусюръективно,найдется такой, что .Но тогда Ф(x*H)=.Значит Ф - сюръективно.Если Ф(x*H)= ,то ф(x)= ,и потому x*H=H= .Это доказывает,что Ker Ф=е и значитФ - инъективнои, следовательно,являетсяизоморфизмом.Поскольку(x)=Ф(x*H), мы видим, чтоесли считатьизоморфизмФ тождественнымотображением( то есть отождествитьи G/H), отображениесовпадет сестественнымгомоморфизмом,переводящимx в x*H.

Следствие

Всякийгомоморфизм определяетизоморфизммежду факторгруппойи подгруппойIm .

Примеры

1. Пусть={1,-1} с операциейумножения.Определимгомоморфизм),сопоставляякаждой четнойперестановкечисло 1, а нечетной- число (-1). ТогдаKer - подгруппачетных перестановок.Очевидно, чтопри n>1 сюръективно.По теореме огомоморфизме-нормальнаяподгруппа ви .

2. Отображение(А)=det(A)являетсясюръективнымгомоморфизмомгруппы GL(n,R) всехневырожденныхматриц порядкаn в группу не равных нулючисел с операциейумножения. Приэтом Ker =SL(n,R) -подгруппаматриц с определителем1. Значит этаподгруппанормальна иGL(n,R) /SL(n,R) .

Лекция 4

Циклическиегруппы.

Определение

ГруппаGназываетсяциклической,если все ееэлементы являютсястепенямиодного элемента.Этотэлемент gназываетсяобразующимциклическойгруппы G.

Примерыциклическихгрупп:

1. Группа Z целыхчисел с операциейсложения.

2. Группавсех комплексныхкорней степениnиз единицыс операциейумножения.Поскольку ,группа являетсяциклическойи элементg= -образующий.

Мывидим, чтоциклическиегруппы могутбыть как конечнымитак и бесконечными.

3. Пусть(G,*)- произвольнаягруппа и произвольныйэлемент. Множествоявляетсяциклическойгруппой с образующимэлементом g. Она называетсяциклическойподгруппой,порожденнойэлементом g,а ее порядок - порядком элементаg.По теоремеЛагранжа порядокэлемента являетсяделителемпорядка группы.Отображение

действующеепо формуле:,очевидноявляется

гомоморфизмоми его образсовпадает с.Отображениесюръективно тогда и толькотогда, когдагруппа G- циклическаяи gее образующийэлемент. В этомслучае будемназывать стандартнымгомоморфизмомдля циклическойгруппы Gc выбраннойобразующейg.

Применяяв этом случаетеорему огомоморфизме, мы получаемважное свойствоциклическихгрупп:всякаяциклическаягруппа являетсягомоморфнымобразом группыZ.

Поскольку,всякая циклическаягруппа коммутативнаи мы будемиспользоватьаддитивнуюзапись, так чтоn-аястепеньgбудет выглядетькак ngи называтьсяn-кратнымэлемента g,а нейтральныйэлемент Gмы будемназывать нулеми обозначать0.

Условимсяеще оследующемобозначении.Если Fпроизвольная группа, записаннаяаддитивно, тоnFбудетобозначатьподмножество,элементамикоторого являютсяn-кратныеэлементов изF.Если группаFкоммутативна,то nF- подгруппаFпоскольку n(x-y)=nx-ny.

Теоремао подгруппахгруппы Z

ЕслиH-подгруппагруппы Z, то H=nZ, где n- некотороенеотрицательноецелое числои значит H- циклическаягруппа с образующимэлементом n.

Доказательство:

ЕслиH-тривиальнаяподгруппа, тотеорема вернаи n=0.ПустьHнетривиальна.В этом случаев Hсодержатсяненулевые числаи противоположныек ним, а значити положительныецелые. Обозначимнаименьшееиз них буквойn.Тогда .Если - любое число,то разделивmна nс остатком,получим:m=kn+r,причем .Но тогда r=m-knизначит r=0.Поэтому H=nZ, что итребовалось.

Замечание.

Еслиk0- любое целое,то отображениеопределенноеформулой являетсяизоморфизмоми отображаетподгруппуна подгруппу, а значитопределяетизоморфизм.

Теоремао структурециклическихгрупп

Всякаябесконечнаяциклическаягруппа изоморфнаZ. Всякаяконечная циклическаягруппа порядкаnизоморфнаZ/nZ.

Доказательство.

Какбыло отмеченовыше, всякаяциклическаягруппа GизоморфнаZ/H,где H- некотораяподгруппа Z.По предыдущейтеореме H=nZ,где .Если n=0,GизоморфнаZи, следовательно,бесконечна.Если n>0,Zразбиваетсяна nсмежныхклассов:nZ,nZ+1, nZ+2, ..., nZ+(n-1)и потомуфакторгруппаZ/Hимеетпорядок n.

Вдальнейшемгруппу Z/nZбудемобозначать.В частности,.

Отметим,что в нашихобозначениях,- тривиальнаягруппа.

Элементамиконечной группыпо определениюявляются смежныеклассы:

{nZ,nZ+1,... , nZ+n-1},которые обозначаютсяи называютсявычетами помодулю n, а операцияв -сложением помодулю n.

Теоремао подгруппахгруппы (n>0).

ЕслиHподгруппагруппы ,то H=причем nделитсяна mнацело.Порядок Hравен=d, и значит.

Доказательство.

Рассмотримстандартныйгомоморфизм.K=- подгруппа Zи значитK=mZдлянекоторогоцелого m.Отсюдаследует, чтоH=.При этом и потомуn=dmгде d- целое. По теоремео гомоморфизме.

Издоказанныхтеорем следует,что всякаяподгруппациклическойгруппы циклична.Мы видим также,что для каждогоцелого d,делящего порядокnконечной циклическойгруппыимеетсяи притом ровноодна подгруппапорядка d,то есть дляконечных циклическихгрупп справедливатеорема обратнаятеореме Лагранжа.

Дальнейшееизучение структурыциклическихгрупп опираетсяна один результато делимостицелых чисел,который мысейчас и изложим.

Напомним,что для любыхцелых nи mопределен ихнаибольшийобщий делительd=(n,m).Если n0и m0,то d- это наибольшеецелое числона которое безостатка делятся nиm. (0,m)=(m,0)=mпо определению.Числа, для которых(n,m)=1называютсявзаимно простыми.

Основнаятеорема теорииделимости.

Есличисла nи mвзаимно просты,то можно подобратьдва таких целыхxи y,что xn+ym=1.

*Доказательство.

Посколькучисла nи mненулевые,nn+0m=>0.Значит средичисел видаxn+ymестьположительные.Пусть s=xn+ym- наименьшееположительноечисло этоговида. Предположим,что s>1.Тогдаs>(n,m) и потомулибо nлибо m(пусть n)не делится наsнацело.Значит n=ks+r,где0

Следствие.

Длявсяких целыхnи mможно подобратьтакие целыеxи y,что xn+ym=(n,m).

Всамом деле ,если nили mравно 0, то утверждениеочевидно. Еслиже (n,m)>0,то числаи взаимно простыи по доказаннойтеореме дляподходящихxи yимеем:, откуда иследует сформулированныйрезультат.*

Теоремао порядкахэлементовконечных циклическихгрупп.

Пустьp0любоецелое. Вычетв группе имеет порядокv=n/(n,p).

Доказательство.

Пусть(n,p)=d.Поскольку p/d- целоечисло, имеем:===,откуда следует,что порядокне превосходитv.С другойстороны, еслипорядок равен k,то k=,то есть kpделитсяна n.По основнойтеореме теорииделимостиd=xn+ypи значитkd=kxn+ykpтакжеделится на n.Но еслиk

Следствие.

Вгруппе образующимиэлементамиявляются вточности тевычеты,для которых(n,p)=1.

Заметимтакже, чтообразующимиэлементамив Zявляются, очевидно, только1 и -1.

Вкачестве ещеодного примененияосновной теоремытеории делимостиприведем интересныйпример конечнойгруппы. Рассмотриммножество тех вычетовпо модулюn,для которых(m,n)=1.Проверим, чтоотносительноумноженияпо модулю nэти вычетысоставляютгруппу, называемуюмультипликативнойгруппой вычетовпо модулю n.Ассоциативностьумноженияочевидна. Такжеочевидно, чтовычет является нейтральнымэлементом.Остается проверитьналичие обратногоэлемента. Пусть.По основнойтеореме найдутсятакие xиy, что xm+yn=1.Переходя квычетам, находим:=,откуда видно,что .

Группаневсегда циклична.Например, легкопроверить, чтовсе 3 нетривиальныхэлемента группыимеют порядок2 и потому онане являетсяциклической.

Наконец,отметим одинполезный результатнепосредственновытекающийиз доказанноговыше.

Теоремао структурегрупп простогопорядка.

Еслипорядок конечнойгруппы Gравенпростому числуp,то .

Доказательство.

Пусть- любой элемент,отличный отнейтрального.Посколькупорядок xбольше1 и являетсяделителем p,то он равен pи значит.

Лекция№5

Коммутативныегруппы с конечнымчислом образующих.

Часть первая:общаятеория

Определение

Элементыкоммутативнойгруппы Gназываютсяее системойобразующих(с.о.) , если каждыйэлементможно записатьв виде:,где .Группа, имеющаясистему образующих,называетсягруппойс конечнымчислом образующих(г.к.о.)

Примеры.

1. Циклическаягруппа - группас одной образующей.

2. Группа всех n-мерныхвекторов сцелочисленнымикоординатамис операциейсложения имеетстандартнуюс.о. e=, где -вектор, у которогоединственнаяненулеваякоордината- iая , равная1.

   Отметим,что Z. Будемтакже считать,что - тривиальнаягруппа.

3. Система{3,7}- является с.о.группы Z. Этовытекает изтождества:m= m*7+(-2m)*3 .

4. Всякаяконечная абелевагруппа являетсяг.к.о. так какза системуобразующихможно взять,например, всеэлементы этойгруппы.

5. ГруппаQрациональныхчисел с операциейсложения неявляется г.к.о. В самом деле,если - любые рациональныечисла, записанныев виде отношенияцелых, то, приводяк общему знаменателюсумму ,получим дробь,знаменателькоторой непревосходитN=.Поэтому любаянесократимаядробь с большимчем Nзнаменателемне являетсяцелочисленнойлинейной комбинациейданных рациональныхчисел и они необразуют с.о.

ПустьG-группас с.о. .Определимотображениеформулой:.Очевидно, что являетсясюръективнымгомоморфизмом.Будем называтьстандартнымгомоморфизмомдля группы Gc заданнойс.о.. Он отображаетстандартнуюс.о. группы в заданнуюс.о. группы G.Из существованиястандартногогомоморфизмавытекает, чтолюбая г.к.о.является гомоморфнымобразом группы.Отметимеще, что если-сюръективныйгомоморфизм,то -с.о. группы K.Поэтому гомоморфныйобраз г.к.о. являетсяг.к.о.

Теоремао подгруппахг.к.о.

Всякаяподгруппа Hгруппы Gс с.о. допускаетконечную с.о.,причем .

Доказательство.

Проведеминдукцию почислу nобразующихгруппы G. При n=1G -циклическаягруппа и длянее теоремаверна, так каквсякая ее подгруппациклична. Пустьдля групп с(n-1)образующейтеорема ужедоказана;рассмотримслучай сформулированныйв теореме. Определиммножество

. Легко проверить,что -подгруппа ипотому P=kZ,где .Если k>0выберем так, чтобы.Пусть -подмножествоG,состоящее извсевозможныхлинейных комбинаций,где все .Очевидно, что-подгруппа Gс (n-1)образующей.Пусть также-подгруппа .По предположениюиндукции допускаетконечную с.о.,где .Если k=0,итеорема доказана.Предположим,что k>0.Докажем тогда,что -с.о. подгруппыH.Пусть -произвольныйэлемент. Тогдаh=.Значит,

=ипотому=,откуда и теорема полностьюдоказана.

Итак,любая подгруппаг.к.о. являетсяг.к.о. Укажемудобный способзадания группыGс заданнойс.о. с помощью матриц.Рассмотримстандартныйгомоморфизм.Тогда H=Ker-подгруппаг.к.о. ипотому имеетконечную с.о..Поскольку ,можно записать:,где .Матрица с этими элементамиполностьюописываетподгруппу H,а, следовательно,и группу G.

Примеры.

1. ПустьG=-циклическаягруппа с образующейg.Стандартныйгомоморфизмимеет ядро nZс образующейn.Здесь -(11)матрица (n).

2. ПустьG=-мультипликативнаягруппа вычетовпо модулю 20. Этагруппа состоитиз 8 элементов:{1, 3,7,9,11,13,17,19} ( дляупрощениязаписи мы неставим чертунад соответствующимвычетом). Циклическаяподгруппа Z(3)как нетрудновидеть состоитиз элементов1, 3, 9, 7;циклическаягруппа Z(13)- из элементов1, 13, 9,17. Поскольку3*13=19 и *13=11,мы видим, чтокаждый элементиз может бытьзаписан в виде,то есть {3,13} -с.о. группыG.Стандартныйгомоморфизм

действуетпо формуле:.Ядро этогогомоморфизма состоит изтаких двумерныхвекторов ,для которых =1,то есть элементыидолжныбыть взаимнообратными. Этовозможно толькокогда оба вычетаравны 1 или 9, чтосоответствуетзначениям n=4p;m=4q или n=4p+2;m=4q+2 ().Отсюда видно,что в качествеобразующихможно выбратьэлементы и .Поэтому получаем:.

Замечание.

Построениематрицы для даннойг.к.о. Gзависитот выбора с.о.группы Gи подгруппы.Существуетстандартныйспособ измененияс.о. - выполнениеэлементарныхпреобразований(э.п.). Как известно,имеются 3 типаэлементарныхпреобразований:перестановкаобразующих,умножение однойиз образующихна число pи прибавлениек одной образующейкратного другой.Для того, чтобыпри этих преобразованияхснова получаласьс.о. необходимаих обратимость.Поэтому числоpможетбыть равнотолько 1 или-1. Выполнение э.п. с.о. Gприводитк преобразованиямстрок матрицы,а э.п. с.о. Hприводятк преобразованиямстолбцов тойже матрицы.Назовем двецелочисленныематрицы эквивалентными,если одна изних получаетсяиз другой э.п.строк истолбцов. Из сказанноговыше вытекает,что эквивалентныематрицы отвечаютодной и той жегруппе. Отметимеще, что еслиB-любая, то взяв в качестве-множествовсевозможныхцелочисленныхкомбинацийстолбцов Bи образовавфакторгруппуG=мы придемк группе, длякоторой =B.Таким образом,любаяцелочисленнаяматрица определяетнекоторуюг.к.о.

Лекция№6

Коммутативныегруппы с конечнымчислом образующих.

Часть вторая:классификация.

Какбыло показанона предыдущейлекции, каждаяг.к.о. Gс nобразующимизадается (nm)матрицей,причем эквивалентныематрицы определяютодинаковыегруппы. Будемназыватьпрямоугольнуюматрицу Адиагональной, если всеее элементы=0при ij.Последовательноперечисляяее диагональныеэлементы, будемзаписыватьтакую матрицув виде:A=diag().

Теоремао приведенииматрицы кдиагональномувиду.

Всякаяцелочисленнаяпрямоугольнаяматрица Аэквивалентнадиагональнойматрице diag(),с положительными,причем всечисла -целые.

Доказательство.

Длянулевой матрицытеорема очевидноверна. Будемсчитать, чтоА0.Выберем измножестваненулевыхэлементов Алюбой из наименьшихпо модулю иназовем егоглавнымэлементом А.Абсолютнаявеличина главногоэлемента будетобозначаться h(A).Таким образомдля любого ненулевогоэлемента этойматрицы .

Лемма

Существуетматрица эквивалентнаяА, все элементыкоторой кратныее главномуэлементу.

Доказательстволеммы.

Выберемсреди всехматриц эквивалентныхА ту матрицу, у которой h()минимально.Покажем, чтоэта матрицаудовлетворяетусловию, указанномув лемме. Проведемдоказательствоот противного.Пусть -главный элементэтой матрицы так что .Допустим, чтонекоторыйэлементэтой матрицыне делится нанацело ипридем к противоречию.Рассмотрим3 случая. Пустьсначала p=i,то есть выбранныеэлементы расположеныв одной строке.Разделим насостатком:,где .Вычитая изq-огостолбца j-ыйс коэффициентомs,придем к эквивалентнойматрице ,у которойh()r.Если pi,но q=j,то можно произвестианалогичноепреобразованиестрок матрицы,что опять приведетнас к противоречию.Пусть, наконец,все элементыi-ойстроки и всеэлементы j-огостолбца кратны ,но не делится наглавный элементнацело. Пустьk=.Вычитая из p-ойстроки ее i-уюстроку с коэффициентом(k-1)придемк эквивалентнойматрице ,у которой и элемент неделится на нацело. Имеем:h()=h(A).Строгое неравенствоприводит кпротиворечию;если жеимеет месторавенство, мыполучаем первыйслучай и сновавпадаем впротиворечие.Лемма доказана.

Доказательствотеоремы будемпроводитьиндукцией поn.При n=1утверждениетеоремы очевидно.Пусть теоремауже доказанадля матриц с(n-1)строкой.Рассмотримматрицу А с nстроками.Выберем длянее эквивалентнуюматрицу ,удовлетворяющуюусловиям леммы.Пусть .Переставляястроки и столбцыи если надоумножая еестроку на -1,приходим кэквивалентнойматрице ,у которой .Вычитая теперьиз каждой строкиеепервую строкус подходящимкоэффициентоми проделываяаналогичныеоперации с еестолбцами,приходим кматрице, у которойвсе элементыпервой строкии первого столбцаравны 0 за исключениемпервого элемента,равного ,причем всеэлементы этойматрицы кратны.Применяяпредположениеиндукции кматрице ,полученнойвычеркиваниемпервой строкии первого столбца,мы и завершаемдоказательствотеоремы.

Пример.

(стрелкамиобозначеныэ.п. строк истолбцов)

.

Опишемтеперь структуругруппы G с с.о. , для которой=diag(), причем мы считаем,что По построениюG=,где H-подгруппа сс.о. {}.Пусть -циклическаяподгруппа G. Очевидно, (при i>r).Каждый элементоднозначнопредставляетсяв виде суммы:, где 0при i=1,2,...r ипри i>r.

Определение.

ПустьG-абелева группаи -система ееподгрупп. Gназываетсяпрямойсуммой системыподгрупп,если каждыйэлемент однозначнопредставляетсяв виде суммы,где .Это записываетсяследующимобразом:.

Такимобразом, диагональныйвид матрицыозначает, что,где количествослагаемых Zравноn-r. Очевидно,что слагаемые,отвечающиетривиальнымгруппам (d=1)могут бытьисключены изэтой суммы.

Примеры.

1. Очевидно,что .

2. Отметим,что если всеподгруппы имеют конечныепорядки , то порядок равен .

3. Подгруппа состоит изэлементов:,а -из элементов .Поскольку+=и +=,мы видим, что.

4. Вразвитие предыдущегопримера установим,что, если числаpиq взаимнопросты, то.Используемосновную теоремутеории делимости:существуютцелые xи y,такие что 1=xp+yq. Отсюдадля любого nполучаем,что n=nyq+nxpи значит.Остается заметить,что эти группыимеют одинаковыепорядки.

5. Какбыло показанона предыдущейлекции, группаописываетсяматрицей .Приводя этуматрицу кдиагональномувиду, получаемэквивалентнуюматрицу .Следовательно,.В качествеобразующихэтих циклическихподгрупп можновзять, например,элементы и .

Подводяитог всемувышесказанному,можно утверждать,что всякаяг.к.о. Gявляетсяпрямой суммойсвоих циклическихподгрупп , (1)

гдепорядки конечных подгруппудовлетворяютусловию:числа-целые. Разложение(1) называетсяпервым каноническимразложениемгруппы G.

Лекция№7

Коммутативныегруппы с конечнымчислом образующих.

Часть третья:следствияиз классификации.

Теоремао подгруппахгруппы

Всякаяподгруппагруппы изоморфна ,причем .

Доказательство.

Мызнаем, что подгруппаGгруппыимеетне более чемnобразующихи потому длянее можно записатьпервое каноническоеразложение:,где (m+k)n.Поскольку всеэлементы имеют бесконечныйпорядок, Gне содержитконечных циклическихподгрупп. Такимобразом, k=0и теоремадоказана.

Теоремао подгруппахконечнойкоммутативнойгруппы.

Длявсякого числаmделящегопорядок nконечнойкоммутативнойгруппы G в нейнайдется подгруппаHпорядкаm.

Доказательство.

ИспользуемразложениеGв прямуюсумму циклическихподгрупп :Имеем:n=.Поскольку mделитn, можнозаписать:m=,где каждое делит .Пусть .Теперь достаточноположить:.

Замечание.

Вообщеговоря, подгруппаHне единственна(в отличие отслучая подгруппыциклическойгруппы ). Например,если ,где число pпростое, токаждый неединичныйэлемент имеет порядокpи значитвходит в циклическуюподгруппупорядка p. Две такие подгруппылибо совпадают,либо пересекаютсятолько понейтральномуэлементу. ЗначитGсодержитв точности подгрупп порядкаp.

Теоремао порядкахэлементовконечныхкоммутативныхгрупп

ПустьG-конечнаяциклическаягруппа и -ее первоеканоническоеразложение,так что каждоеделит.Тогда множествопорядков всехэлементов Gсовпадаетс множествомвсевозможныхделителей числа.

Доказательство.

Посколькувсе являютсяделителями, =0и потому G=0.С другой стороны,если qделит,то (азначит и G!) содержитэлемент g порядкаq.

Следствие.

Есличисло mвзаимнопросто с порядкомnконечнойкоммутативнойгруппы G,то mG=G.

Всамом деле, вэтом случаедля каждогопрямого слагаемогогруппыG m=.

Второеканоническоеразложение

Напомним,что если числаpи qвзаимно просты,то .Поскольку любоенатуральноеnможноразложить впроизведениепростых множителей,,где все простыепопарноразличны, имеем:. Используяразложениеконечной абелевойгруппы в суммуциклическихподгрупп, получаемотсюда, чтовсякая такаягруппа можетбыть представленав виде суммытаких циклическихподгрупп, порядкикоторых являютсястепенямипростых чисел.Объединимслагаемые,относящиесяк одному простомучислу pв подгруппу.

Определение.

Подгруппа называется p-компонентой группы G. Группа G,порядок которойравен степенипростого числаpназываетсяp-примарной.

Итак,всякаяконечная абелевагруппа Gраскладываетсяв прямую суммуp-компонент:,где p-простоечисло, делящеепорядок G,а всякая p-компонента,в свою очередь,в прямую суммупримарныхциклическихподгрупп:.Прямая сумма,стоящая в правойчасти этогоравенстваобозначается,а выражение,стоящее в показателестепени p,-типомкомпоненты.Порядок равен,где -количество1 в показателе,-количество2 и т.д. Такимобразом компонентаявляется примарнойгруппой. Толькочто построенноеразложениеконечной абелевойгруппы называетсявторымканоническимразложением.

Пример.

Пусть.Поскольку 12=, 72=, имеем:.

Замечание.

Если- две подгруппыпримарнойциклическойгруппы и st,то .Отсюда вытекает,что примарнаяциклическаягруппа не можетбыть разложенав прямую суммусвоих подгрупп.Таким образом,второе каноническоеразложениеконечной абелевойгруппы - этопредставлениеее в виде суммынаименьших(далее неразложимых)слагаемых. Длясравнениязаметим, чтопервое каноническоеразложение- это представлениегруппы в видесуммы наибольшихциклическихслагаемых.

Теоремаединственностидля разложенияв сумму компонент.

Компонентыконечнойкоммутативнойгруппы Gопределеныоднозначно.Точнее, пусть-разложениепорядка nгруппыGв произведениепростых чисел,.Тогда .

Доказательство.

Изразложениямы видим, что=0.Если же (p,q)=1,то q= .Поскольку приji делитсяна,а =1,отсюда и следуетутверждениетеоремы.

Теоремаединственностиопределениятипа примарнойгруппы.

Типпримарнойгруппы определеноднозначно.Точнее, еслиp-компонентагруппыGпредставленав виде прямойсуммы циклическихподгрупп:=, то .

Доказательство.

ПустьG=-разложениеGв суммуp-компонентыи остальныхкомпонент.Таким образом,(ord(),p)=1и потому=.С другой стороны,=при m>k(равно0 в противномслучае). Поэтому

ord()=.Обозначаяord()=N,получаем:

ord(G)=N.Отсюда:ord(G)/ord(G)=откудаи следует утверждениетеоремы.

Замечание.

Обращаемвнимание насущественноеотличие вформулировкесвойстваединственностив двух последнихтеоремах. Впервой из нихутверждаетсяединственностькаждой из подгрупп, тогда как вовторой подгруппы,составляющиепрямые слагаемые,определены,вообще говоря,неоднозначно,но их количествои порядок каждойиз них находятсяуже единственнымобразом.

Количествонеизоморфныхконечных абелевыхгрупп данногопорядка.

Обозначимчерез ab(n)количествопопарно неизоморфныхабелевых групппорядка n.Ввиду единственностиразложениятакой группыв сумму примарныхкомпонент,разложению в произведениепростых отвечаетравенствоab(n)=ab()ab()...ab().Если p-любоепростое число,и G-

группапорядка итипа (1,1,...1,2,2,......k)то m=1+1+...+1+2+2+...+...+k.Каждому представлениючисла mв видесуммы положительныхцелых слагаемых(причем порядокслагаемых неиграет роли)отвечает определенныйтип абелевойгруппы порядка .Такое представлениечисла mназываетсяего разбиениеми обозначается.Таким образом,поскольку типгруппы определяетсяоднозначно,ab()=.

Примеры.

Составимпрежде всегоследующуютабличкуразбиений:

1. ab(16)==5.Соответствующиеабелевы группыпорядка 16 следующие:,,,,.Первые каноническиеразложениядля них имеютвид:,,,,.

2. ab(72)=ab(8)*ab(9)==6.Соответствующиегруппы суть:,,,,,.Первыеканоническиеразложениядля них имеютвид:,,,,,.

Взаключениеприведем табличкуколичестваГ(n)попарно неизоморфныхгруппи ab(n)абелевых группданного порядкаn.

Лекция№8

Множествас двумя алгебраическимиоперациями.Кольца и поля.

Пусть на множествеR определеныдве алгебраическиеоперации, которыемы будем называтьсложением иумножениеми обозначатьсоответственно+ и *. Говорят, чтоумножениеобладает свойством(правой) дистрибутивностиотносительносложения, если

. (1)

Аналогичноопределяетсясвойство левойдистрибутивности.Разумеется,если операцияумножениякоммутативна,эти свойстваравнозначны.В общем случаеговоря о свойстведистрибутивностимы будем подразумеватьдвустороннююдистрибутивность.Предположим,что операция’+’на Rимеет нейтральныйэлемент, обозначаемый0. Положив вравенстве (1) y=z=0,получим: x*0= x*0 + x*0, откуда, при наличиисвойства сокращениядля операции’+’ , получаем, чтоx*0 = 0.Если для элементаy имеетсяпротивоположныйэлемент (-y),то взяв в томже равенствеz = -y,получим: 0 = x*0= x*y + x*(-y) и, значит, x*(-y) =-x*y.

Определение.

Множествос двумя алгебраическимиоперациямиR(+,*)называетсякольцом, если

1. (R,+)- абелевагруппа(аддитивнаягруппа кольцаR).

2. Умножениев Rдистрибутивноотносительносложения.

Дополнительныесвойства операцииумноженияотмечаютсяс помощьюсоответствующихприлагательныхперед словомкольцо. Такассоциативноекольцо - этокольцо, в которомоперация умноженияобладает свойствомассоциативности.Аналогичныйсмысл имееттермин коммутативноекольцо. Наличиенейтральногоэлемента дляоперации умножениявыражают терминомкольцо с единицей( этот нейтральныйэлемент называютединицей иобозначают илипросто e); При этом дополнительнопредполагается,что кроме свойств1 и 2 выполнено

3. 0.

Элементытакого кольцаR,имеющиеобратныеотносительнооперации умножения, называютсяобратимыми, а их множествообозначаетсячерез .Отметим, чтодля ассоциативногокольца с единицеймножество являетсягруппой поумножению,называемоймультипликативнойгруппой кольцаR.Поскольку вкольце Rс единицей x*0 = 0e, элемент 0 изR необратим.В случае ассоциативногокольца не будетобратим и такойэлемент y0,для которогоможно найтитакое z0,что y*z= 0. Такой элементyназывается(левым) делителемнуля.

Определение.

Полемназываетсятакое ассоциативноекоммутативноекольцо с единицейk,в котором всякийненулевойэлемент обратим:.

Такимобразом, поопределениюв поле отсутствуютделители нуля.

Примерыколец и полей.

1. Хорошоизвестнымипримерамиполей являются,конечно, поляR,Q,и Cсоответственновещественных,рациональныхи комплексныхчисел . Отметим,что любое полесодержит покрайней мере2 элемента - 0 иe.Этот «минимальный»запас элементови достаточендля образованияполя: операцииопределяютсяочевиднымобразом ( отметимтолько, чтоe+e=0).Построенноеполе из двухэлементовобозначаетсяGF(2) (попричинам, которыебудут ясны вдальнейшем).Напомним также,что если p- простоечисло, то всевычеты по модулюp,кроме 0, обратимыотносительнооперации умножения.Значит, рассматриваягруппу с дополнительнойоперациейумножения, мыполучаем полеиз pэлементов,которое обозначаетсяGF(p).

2. МножествоZ целыхчисел с операциямисложения иумножения даетважный примерассоциативногокоммутативногокольца с единицей.Аддитивнаягруппа этогокольца - хорошоизвестная намбесконечнаяциклическаягруппа. Мультипликативнаягруппа содержит всего2 элемента 1 и-1 и потому изоморфна.Элементы, невходящие в необратимы,хотя и не являютсяделителяминуля.

3. ПустьR - любоеассоциативноекоммутативноекольцо. Множество-квадратныхматриц порядкаn сэлементамииз кольца Rобразуеткольцо относительноопераций сложенияи умноженияматриц. Отметим,что кольцоматриц ассоциативно,но, вообще говоря,не коммутативно.Если Rсодержитединицу ,то матрица Е = diag(,,...,),будет единицейкольца матриц.Заметим, чтодля любой матрицы имеет смыслпонятие определителяdet(A)R, причемdet(AB)=det(A)det(B).Если det(A)обратимыйэлемент кольцаR,то матрица Aобратимав кольце матриц:,где -присоединеннаяк А матрица(то есть транспонированнаяматрица изалгебраическихдополнений).Таким образом,=-группа матрицпорядка nс обратимымопределителем. В случае поляR этоозначает, чтоdet(A)0,то есть матрицаневырождена.С другой стороны,в этом случаелюбая вырожденнаяматрица будет делителемнуля. В самомделе, из det(A)= 0 следует,что столбцыА линейно зависимы:,причем не всекоэффициентынулевые. Построимненулевуюматрицу В, взявв качестве еепервого столбцаи считая прочиеэлементы Внулевыми. Тогда А*В = 0 и значитА - делительнуля.

4. Пустьснова Rлюбое ассоциативноекоммутативноекольцо и x- некоторыйсимвол. Формальнаясумма видаp= ,где называетсямногочленомнад кольцомR. Если , то число nназываетсястепенью этогомногочленаи обозначаетсяdeg(p).Нулевоймногочлен неимеет степени.Многочленынад Rможно складыватьи перемножатьпо обычнымправилам и ониобразуют кольцоR[x].Если кольцоR имеетединицу е, томногочленнулевой степениp=eбудет единицейкольца R[x].Если Rне имеетделителейнуля, то deg(pq)=deg(p)+deg(q) и потомуR[x] такжене имеет делителейнуля. В то жевремя обратимымиэлементамикольца многочленовбудут в точностиобратимыеэлементы R,рассматриваемыекак многочленынулевой степени.Отметим, чтоэта конструкцияпозволяетрассматриватьи многочленыот несколькихпеременных:по определению,R[x,y]=R[x][y] (=R[y][x]).

Определение.

Подмножествоназываетсяподкольцом,если оно являетсякольцом относительнотех же операций,которые определеныв R.

Этоозначает, чтоК являетсяподгруппойаддитивнойгруппы Rи замкнутоотносительноумножения: .Отметим, чтоесли Rобладаетсвойствомассоциативности, коммутативностиили отсутствиемделителей нуля,то и К обладаеттеми же свойствами.В то же время,подкольцокольца с единицейможет не иметьединицы. Например,подкольцочетных чисел2ZZне имеетединицы. Болеетого, можетслучиться, чтои R иK имеютединицы, но онине равны другдругу. Так будет,например, дляподкольца ,состоящегоиз матриц снулевой последнейстрокой и последнимстолбцом;=diag(1,1,...,1,0)=diag(1,1,...,1).

Определение.

Гомоморфизмомколец называетсяотображение,сохраняющееобе кольцевыеоперации: и .Изоморфизм- это взаимнооднозначныйгомоморфизм.

Ядрогомоморфизма- это ядро групповогогомоморфизма аддитивныхгрупп ,то есть множествовсех элементовиз R,которые отображаютсяв .

Пустьснова -некотороеподкольцо.Поскольку (К,+)- подгруппакоммутативнойгруппы (R,+),можно образоватьфакторгруппуR/K,элементамикоторой являютсясмежные классы r+K.Поскольку К*КК, для произведениядвух смежныхклассов имеетместо включение:(r+K)*(s+K)r*s+r*K+K*s+K.

Определение.

ПодкольцоК называетсяидеалом кольцаR,если :x*K Kи K*yK.

Мывидим, что еслиК являетсяидеалом в R,произведениесмежных классов (r+K)*(s+K)содержитсяв смежном классеr*s+K.Значит в факторгруппеR/K определенаоперация умножения,превращающаяее в кольцо,называемоефакторкольцомкольца Rпо идеалуК.

Примеры.

1. ПодкольцоnZявляетсяидеалом кольцаZ,поскольку длялюбого целогоm m(nZ)nZ.ФакторкольцоZ/nZ- это множествовычетов помодулю nс операциямисложения иумножения.Отметим, чтоесли число nне являетсяпростым, тоZ/nZимеет делителинуля.

2. ПустьIR[x]- множествовсех многочленов,у которых =0.Удобно записать:I = xR[x].Поскольку p*I=(p*x)R[x]I,мы имеем идеалкольца многочленов.Каждый смежныйкласс q+Iсодержитэлемент .Значит, (q+I)*(s+I)= (+I)*(+I)=*+I.

3. Вразвитие предыдущегопримера рассмотримнекотороеассоциативноекоммутативное кольцо S.Если любой его элемент,то множествоI=x*Sявляетсяидеалом кольцаS,называемымглавным идеаломс образующимэлементом x.Этот идеалобозначается(x). Если Sкольцо сединицей иэлемент xобратим, то(x)=S.

4. Есликольцо Sявляетсяполем, то всякийненулевойидеал Iв Sсовпадаетсо всем полем.В самом деле,если ,x 0,то для всякогоимеем:,откуда .

5. ПустьI идеалкольца R.Сопоставляякаждому элементусмежный классr+I,получаемсюръективныйгомоморфизм .Этот гомоморфизмназываетсяестественнымгомоморфизмомкольца нафакторкольцо.

Замечание.

Свойстваассоциативности,коммутативностии наличия единицыочевидно сохраняютсяпри переходек факторкольцу.Напротив, отсутствиев Rделителейнуля еще негарантируетих отсутствиев факторкольце(см. пример 1).

Теоремаоб ядре.

Ядрогомоморфизмаколец являетсяидеалом.

Доказательство.

Пусть-гомоморфизмколец, I=Ker, -любой элемент.Тогда, (x*I)=(x)*(I)=(x)*0=0. Значит, x*IKer=I. Аналогичнопроверяется,что I*xI.

Теоремао гомоморфизмедля колец.

Пусть-сюръективныйгомоморфизмколец. ТогдаS изоморфнофакторкольцуR/Ker.Если эти изоморфныекольца отождествить,то отождествляетсяс естественнымгомоморфизмомкольца Rна своефакторкольцо.

Доказательствоэтой теоремыаналогичнодоказательствусоответствующейтеоремы длягрупп и мы егоопускаем.

Пример.

ПустьK - кольцомногочленовR[x],:KC- гомоморфизм,сопоставляющийкаждому многочленуp егозначение вточке i: (p)=p(i). Ядро этогогомоморфизмасоставляютмногочлены,представимыев виде: (+1)*q(x),где q- любой многочлен.Можно записать:Ker=(+1).По теореме огомоморфизме.

Лекция№9

Кольцомногочленовнад полем.

Кольцо многочленовнад полем (вотличие отслучая многочленовнад кольцом)обладает рядомспецифическихсвойств, близкихк свойствамкольца целыхчисел Z.

1. Делимостьмногочленов.

Хорошоизвестный длямногочленовнад полем Rспособ деления«углом»используеттолько арифметическиедействия надкоэффициентамии потому применимк многочленамнад любым полемk. Он даетвозможностьдля двух ненулевыхмногочленовp,sk[x]построитьтакие многочлены q (неполноечастное) и r(остаток),что p= q*s +r , причемлибо r=0, либо deg(r)унитарным (или приведенным),если его старшийкоэффициентравен 1.

Определение.

Общимнаибольшимделителем ненулевыхмногочленовp иs называетсятакой унитарныймногочлен ОНД(p, s), что

1. ОНД(p, s)| p; ОНД(p, s) | s.

2. q| p, q | s q | ОНД( p,s).

Поопределению, для ненулевогомногочленар со старшимкоэффициентома ОНД (р, 0) = ОНД(0, р) = р/а; ОНД (0, 0)=0.

АналогичноопределяетсяОНД любогочисла многочленов.

ЕдинственностьОНД двух многочленовнепосредственновытекает изопределения.Существованиеего следуетиз следующегоутверждения.

Основнаятеорема теорииделимости (длямногочленов).

Для любых двухненулевыхмногочленовp иq надполем kможно найтитакие многочленыu иv надтем же полем,что ОНД(p,q)= u*p+v*q.

Доказательствоэтой теоремыочень похожена приведенноев лекции доказательствоаналогичнойтеоремы надZ.Все же наметимосновные егошаги.

Выберемтакие многочленыu иv чтобысумма w=u*p+v*q имела возможноменьшую степень(но была ненулевой!).Можно приэтом считатьw унитарныммногочленом.Проверим, чтоw | p.Выполняяделение с остатком,получаем: p=s*w+r. Подставляяэто равенствов исходное,находим: r=p- s*w=p- s*(u*p+v*q)= (1-s*u)*p+(-s*v)q = U*p+ V*q . Если приэтом r0, то deg(r)

Замечание.

Используяиндукцию, можнодоказать, чтодля любогочисла многочленов ОНД для подходящихмногочленов.Более того, этаформула сохраняетсядаже для бесконечногомножествамногочленов,поскольку ихОНД в действительностиявляется ОНДнекоторогоих конечногоподмножества.

Следствие.

Всякийидеал в кольцемногочленовнад полем являетсяглавным.

Всамом деле,пусть p - ОНД всехмногочленов,входящих видеал I. Тогда ,где .По определениюидеала отсюдавытекает, что,а значит, I =(p).

II.Разложениена множители.

Пусть kнекотороеполе,p,q, s- многочленынад k.Если p=q*s,причем обамногочленаq иs имеютстепень меньшую,чем p,то многочленp называетсяприводимым(над полем k). В противномслучае pнеприводим.Неприводимыймногочлен вкольце k[x]являетсяаналогом простогочисла в кольцеZ .Ясно, чтокаждыйненулевоймногочлен p=можно разложитьв произведение:p= *,где все многочленынеприводимынад kи имеют старшийкоэффициентравный 1. Можнодоказать, чтотакое разложениеединственнос точностьюдо порядкасомножителей.Разумеетсясреди этихмножителеймогут бытьодинаковые;такие множителиназываютсякратными.Объединяякратные множителиможно то жеразложениезаписать ввиде: p=.

Примеры.

1. .Заметим, чтомногочленыпервой степенипо определениюнеприводимынад любым полем.Множитель xявляетсякратным, остальные- простые.

2. Многочленнеприводимнад полем Qрациональныхчисел. В самомделе, если()=(x-a)*q,то подставляяв это равенствоx=a,получаем: ,что невозможнони для какогорациональногочисла a.Тот же многочленнад полем Rвещественныхчисел приводим:,причем второймножительимеет отрицательныйдискриминанти потому далеене разложимнад R. Наконец,над полем Cкомплексныхчисел имеем:,где =- кубическийкорень из 1. Наэтом примеремы видим, чтопонятие приводимостисущественнозависит оттого над какимполем рассматриваетсямногочлен.

Свойстванеприводимыхмногочленов.

1 .Еслиp- неприводимыймногочлен иd =ОНД(p, q) 1,то p | q.

Всамом деле, p =d*s и если deg(s )>0, тоэто противоречитнеприводимостиp, а если deg(s )=0, то d |qp| q.

2. Еслиp | и p неприводим,то либо p | либо p | .Действительно,в противномслучае НОД(p,)= НОД(p, )=1 и потому поосновной теореметеории делимости ;,откуда: и значит, , то есть НОД(p,)=1и, следовательно,deg (p )=0.

III.Корни многочленов.Производнаяи кратные корни.

Пусть p = некоторыймногочлен надk и .Элемент поляk, равный ,называетсязначениеммногочленаp в точке a иобозначаетсяp(a). СоответствиеявляетсягомоморфизмомЯдро этогогомоморфизмасостоит из всехмногочленов,для которыхp(a) = 0, то есть a являетсяих корнем.Поскольку ядроI - идеал, содержащий(x-a) и не совпадающийс k[x](x -a +), а каждый идеалв k[x] - главный, то I =(x-a). Мы приходимтаким образомк теореме Безу: элемент будет корнеммногочленаp тогда и толькотогда, когда(x - a) | p. Отсюданепосредственновытекает, чтонеприводимыймногочленстепени больше1 не имеет корней.

Если| p , то a называетсякорнем кратностине ниже n. Введемпонятие производноймногочленаp. По определениюэто многочлен.Имеют местообычные правилавычисленияпроизводной:;.Отсюда следует,что и потому наличиеу многочленакорня aкратности нениже nвлечет наличие уего производнойтого же корнякратности нениже (n-1).В частности,если p(a)= 0, но ,то корень a-простой(то есть не кратный).

Если| p, но не делит p,то число nназываетсякратностьюкорня a. Пусть -множество всехкорней многочленаp суказаннымикратностями.Поскольку при ab НОД(,)=1, многочлен pделится на и потому deg(p).Итак, многочленстепени nимеет неболее nкорней сучетом их кратности.