Особенности решения задач в эконометрике

Задание 1.

По 15 предприятиям, выпускающим один и тот же вид продукции известны значения двух признаков:

х - выпуск продукции, тыс. ед.;

у - затраты на производство, млн. руб.

Требуется:

4. Построить поле корреляции и сформулировать гипотезу о форме связи;

5. Построить модели:

2.1 Линейной парной регрессии;

2.2 Полулогарифмической парной регрессии;

2.3 Степенной парной регрессии; Для этого:

1. Рассчитать параметры уравнений;

2. Оценить тесноту связи с помощью коэффициента (индекса) корреляции;

3. Оценить качество модели с помощью коэффициента (индекса) детерминации и средней ошибки аппроксимации;

4. Дать с помощью среднего коэффициента эластичности сравнительную оценку силы связи фактора с результатом;

5. С помощью F-критерия Фишера оценить статистическую надежность результатов регрессионного моделирования;

3. По значениям характеристик, рассчитанных в пунктах 2-5 выбрать лучшее уравнение регрессии;

4. Используя метод Гольфрельда-Квандта проверить остатки на гетероскедастичность;

5. Рассчитать прогнозное значение результата, если прогнозное значение фактора увеличится на 5% от его среднего уровня. Для уровня значимости =0,05 определить доверительный интервал прогноза.

Решение.

1. Строим поле корреляции.

Анализируя расположение точек поля корреляции, предполагаем, что связь между признаками х и у может быть линейной, т.е. у=а+bх, или нелинейной вида: у=а+blnх, у = ах^b.

Основываясь на теории изучаемой взаимосвязи, предполагаем получить зависимость у от х вида у=а+bх, т. к. затраты на производство y можно условно разделить на два вида: постоянные, не зависящие от объема производства - a, такие как арендная плата, содержание администрации и т.д.; и переменные, изменяющиеся пропорционально выпуску продукции bх, такие как расход материала, электроэнергии и т.д.

2.1 Модель линейной парной регрессии

2.1.1 Рассчитаем параметры a и b линейной регрессии у=а+bх.

Строим расчетную таблицу 1.

Таблица 1

Параметры a и b уравнения

Y_x = a + bx

определяются методом наименьших квадратов:

Разделив на n и решая методом Крамера, получаем формулу для определения b:

Уравнение регрессии:

=11,591+0,871x

С увеличением выпуска продукции на 1 тыс. руб. затраты на производство увеличиваются на 0,871 млн. руб. в среднем, постоянные затраты равны 11,591 млн. руб.

2.1.2. Тесноту связи оценим с помощью линейного коэффициента парной корреляции.

Предварительно определим средние квадратические отклонения признаков.

Средние квадратические отклонения:

Коэффициент корреляции:

Между признаками X и Y наблюдается очень тесная линейная корреляционная связь.

2.1.3 Оценим качество построенной модели.

Определим коэффициент детерминации:

т. е. данная модель объясняет 90,5% общей дисперсии у, на долю необъясненной дисперсии приходится 9,5%.

Следовательно, качество модели высокое.

Найдем величину средней ошибки аппроксимации А_i .

Предварительно из уравнения регрессии определим теоретические значения для каждого значения фактора.

Ошибка аппроксимации А_i, i=1…15:

Средняя ошибка аппроксимации:

Ошибка небольшая, качество модели высокое.

5.1.4. Определим средний коэффициент эластичности:

Он показывает, что с увеличением выпуска продукции на 1% затраты на производство увеличиваются в среднем на 0,515%.

2.1.5.Оценим статистическую значимость полученного уравнения. Проверим гипотезу H₀, что выявленная зависимость у от х носит случайный характер, т. е. полученное уравнение статистически незначимо. Примем α=0,05. Найдем табличное (критическое) значение F-критерия Фишера:

Найдем фактическое значение F- критерия Фишера:

следовательно, гипотеза H₀ отвергается, принимается альтернативная гипотеза H₁: с вероятностью 1-α=0,95 полученное уравнение статистически значимо, связь между переменными x и y неслучайна.

Построим полученное уравнение.

2.2. Модель полулогарифмической парной регрессии.

2.2.1. Рассчитаем параметры а и b в регрессии:

у_x =а +blnх.

Линеаризуем данное уравнение, обозначив:

z=lnx.

Тогда:

y=a + bz.

Параметры a и b уравнения

= a + bz

определяются методом наименьших квадратов:

Рассчитываем таблицу 2.

Таблица 2

Разделив на n и решая методом Крамера, получаем формулу для определения b:

Уравнение регрессии:

= -1,136 + 9,902z

2.2.2. Оценим тесноту связи между признаками у и х.

Т. к. уравнение у = а + bln x линейно относительно параметров а и b и его линеаризация не была связана с преобразованием зависимой переменной _у, то теснота связи между переменными у и х, оцениваемая с помощью индекса парной корреляции R_xy, также может быть определена с помощью линейного коэффициента парной корреляции r_yz

среднее квадратическое отклонение z:

Значение индекса корреляции близко к 1, следовательно, между переменными у и х наблюдается очень тесная корреляционная связь вида = a + bz.

2.2.3 Оценим качество построенной модели.

Определим коэффициент детерминации:

т. е. данная модель объясняет 83,8% общей вариации результата у, на долю необъясненной вариации приходится 16,2%.

Следовательно, качество модели высокое.

Найдем величину средней ошибки аппроксимации А_i .

Предварительно из уравнения регрессии определим теоретические значения для каждого значения фактора.

Ошибка аппроксимации А_i, i=1…15:

Средняя ошибка аппроксимации:

Ошибка небольшая, качество модели высокое.

2.2.4.Определим средний коэффициент эластичности:

Он показывает, что с увеличением выпуска продукции на 1% затраты на производство увеличиваются в среднем на 0,414%.

2.2.5.Оценим статистическую значимость полученного уравнения. Проверим гипотезу H₀, что выявленная зависимость у от х носит случайный характер, т.е. полученное уравнение статистически незначимо. Примем α=0,05.

Найдем табличное (критическое) значение F-критерия Фишера:

Найдем фактическое значение F-критерия Фишера:

следовательно, гипотеза H₀ отвергается, принимается альтернативная гипотеза H₁: с вероятностью 1-α=0,95 полученное уравнение статистически значимо, связь между переменными x и y неслучайна.

Построим уравнение регрессии на поле корреляции

2.3. Модель степенной парной регрессии.

2.3.1. Рассчитаем параметры а и b степенной регрессии:

Расчету параметров предшествует процедура линеаризации данного уравнения:

и замена переменных:

Y=lny, X=lnx, A=lna

Параметры уравнения:

Y=A+bX

определяются методом наименьших квадратов:

Рассчитываем таблицу 3.

Определяем b:

Уравнение регрессии:

Построим уравнение регрессии на поле корреляции:

2.3.2. Оценим тесноту связи между признаками у и х с помощью индекса парной корреляции R_yx.

Предварительно рассчитаем теоретическое значение для каждого значения фактора x, и , тогда:

Значение индекса корреляции R_xy близко к 1, следовательно, между переменными у и х наблюдается очень тесная корреляционная связь вида:

2.3.3.Оценим качество построенной модели.

Определим индекс детерминации:

R²=0,936²=0,878,

т. е. данная модель объясняет 87,6% общей вариации результата у, а на долю необъясненной вариации приходится 12,4%.

Качество модели высокое.

Найдем величину средней ошибки аппроксимации.

Ошибка аппроксимации А_i, i=1…15:

Средняя ошибка аппроксимации:

Ошибка небольшая, качество модели высокое.

2.3.4. Определим средний коэффициент эластичности:

Он показывает, что с увеличением выпуска продукции на 1% затраты на производство увеличиваются в среднем на 0,438%.

2.3.5.Оценим статистическую значимость полученного уравнения.

Проверим гипотезу H₀, что выявленная зависимость у от х носит случайный характер, т. е. полученное уравнение статистически незначимо. Примем α=0,05.

табличное (критическое) значение F-критерия Фишера:

фактическое значение F-критерия Фишера:

Таблица 3

следовательно, гипотеза H₀ отвергается, принимается альтернативная гипотеза H₁: с вероятностью 1-α=0,95 полученное уравнение статистически значимо, связь между переменными x и y неслучайна.

3. Выбор лучшего уравнения.

Составим таблицу полученных результатов исследования.

Таблица 4

Анализируем таблицу и делаем выводы.

- Все три уравнения оказались статистически значимыми и надежными, имеют близкий к 1 коэффициент (индекс) корреляции, высокий (близкий к 1) коэффициент (индекс) детерминации и ошибку аппроксимации в допустимых пределах.

- При этом характеристики линейной модели указывают, что она несколько лучше полулогарифмической и степенной описывает связь между признаками x и у.

- Поэтому в качестве уравнения регрессии выбираем линейную модель.

4. Для выбранной модели проверим предпосылку МНК о гомоскедастичности остатков, т. е. о том, что остатки регрессии имеют постоянную дисперсию.

Используем метод Гольдфельдта-Квандта.

1. Упорядочим наблюдения по мере возрастания переменной х.

2. Исключим из рассмотрения 3 центральных наблюдения.

3. Рассмотрим первую группу наблюдений (малые значения фактора х) и определим этой группы.

4. Рассмотрим вторую группу наблюдений (большие значения фактора х) и определим этой группы.

5. Проверим, значимо или незначимо отличаются дисперсии остатков этих групп.

Таблица 5

Определим параметры уравнения регрессии 1 группы:

Уравнение регрессии 1 группы:

=11,93+0,86x

Таблица 6

Параметры уравнения регрессии 2 группы:

Уравнение регрессии 2 группы:

=9,7+0,98x

S₁=19.46>S₂=17.17

F_факт.< F_табл.

следовательно, остатки гомоскедастичны, предпосылки МНК не нарушены.

5. Рассчитаем прогнозное значение результата у, если прогнозное значение фактора х увеличивается на 5% от его среднего уровня.

Точечный прогноз:

11,59+0,87–1,05–14,13=24,515 млн. руб.

Для данной величины выпуска продукции прогнозное значение затрат на производство составляет 24,515 млн. руб.

Для уровня значимости α= 0,05 определим доверительный интервал прогноза.

Предварительно определим стандартные ошибки коэффициента корреляции и параметра b.

Стандартная ошибка коэффициента корреляции:

Ошибка прогноза:

Доверительный интервал прогноза значений y при с вероятностью 0,95 составит:

Прогноз надежный, но не очень точный, т. к.

Задание 2

Имеются данные о заработной плате у (тысяч рублей), возрасте х₁ (лет), стаже работы по специальности х₂ (лет) и выработке х₃ (штук в смену) по 15 рабочим цеха:

Требуется:

1. С помощью определителя матрицы парных коэффициентов межфакторной корреляции оценить мультиколлинеарность факторов, исключить из модели фактор, ответственный за мультиколлинеарность.

2. Построить уравнение множественной регрессии в стандартизованной форме:

2.1. Оценить параметры уравнения.

2.2. Используя стандартизованные коэффициенты регрессии сравнить факторы по силе их воздействия на результат.

2.3. Оценить тесноту связи между результатом и факторами с помощью коэффициента множественной корреляции.

2.4. Оценить с помощью коэффициента множественной детерминации качество модели.

2.5. Используя F-критерий Фишера оценить статистическую значимость присутствия каждого из факторов в уравнении регрессии.

3. Построить уравнение множественной регрессии в естественной форме, пояснить экономический смысл параметров уравнения.

4. Найти среднюю ошибку аппроксимации.

5. Рассчитать прогнозное значение результата, если прогнозное значение факторов составит: х₁ = 35 лет, х₂ = 10 лет, х₃ = 20 штук в смену.

Решение.

Для оценки мультиколлинеарности факторов используем определитель матрицы парных коэффициентов корреляции между факторами.

Определим парные коэффициенты корреляции.

Для этого рассчитаем таблицу 7.

Используя рассчитанную таблицу, определяем дисперсию y, x₁, x₂, x₃.

Найдем среднее квадратическое отклонение признаков y, x₁, x₂, x₃, как корень квадратный из соответствующей дисперсии.

Определим парные коэффициенты корреляции:

таблица 7

Матрица парных коэффициентов корреляции:

Анализируем матрицу парных коэффициентов корреляции.

- r_x1x2=0.931, т. е. между факторами x₁ и x₂ существует сильная корреляционная связь, один из этих факторов необходимо исключить.

- r_x1x3=0.657 меньше, чем r_x2x3=0.765, т.е. корреляция фактора х₂ с фактором х₃ сильнее, чем корреляция факторов х₁ и х₃.

- Из модели следует исключить фактор х₂, т.к. он имеет наибольшую тесноту связи с х₃ и, к тому же, менее тесно (по сравнению с x₁) связан с результатом у (0.894<0.908).

2.1. Уравнение регрессии в естественной форме будет иметь вид:

y_x = a + b_lx_]+b₃x₃,

фактор х₂ исключен из модели.

Стандартизованное уравнение:

t_y = β₁t_x1+β₃t_x3

где:

t_y , t_x1, t_x3 – стандартизованные переменные.

Параметры уравнения β₁ и β₃ определим методом наименьших квадратов из системы уравнений:

Или:

Систему решаем методом Крамера:

Тогда:

Получили уравнение множественной регрессии в стандартизованном масштабе:

t_y = 0,693t_x1+0,327t_x3

Коэффициенты β₁ и β₃ сравнимы между собой в отличии от коэффициентов чистой регрессии b₁ и b₃.

β₁=0,693 больше β₃=0,327, следовательно, фактор x₁ сильнее влияет на результат y чем фактор x₃.

Определим индекс множественной корреляции:

Cвязь между y и факторами x₁, x₃ характеризуется как тесная, т. к. значение индекса множественной корреляции близко к 1.

Коэффициент множественной детерминации:

R ²_yx1x3=(0.941)²=0.886

Т. е. данная модель объясняет 88,6% вариации y, на долю неучтенных в модели факторов приходится 100-88,6=11,4%

Оценим значимость полученного уравнения регрессии с помощью F-критерия Фишера:

F_табл(α=0,05; k₁=2; k₂=15-2-1=12)=3,88

Табличное значение критерия Фишера (определяем по таблице значений критерия Фишера при заданном уровне значимости α и числе степеней свободы k₁ и k₂) меньше фактического значения критерия. следовательно, гипотезу H₀ о том, что полученное уравнение статистически незначимо и ненадежно, отвергаем и принимаем альтернативную гипотезу H₁: полученное уравнение статистически значимо, надежно и пригодно для анализа и прогноза.

Оценим статистическую значимость включения в модель факторов x₁ и x_2.

F_табл (α=0,05; k₁=1; k₂=15-2-1=12)=4,75

F_x1 >F_табл.

F_x3 >F_табл.

Значит, включение в модель факторов x₁ и x₃ статистически значимо.

Перейдем к уравнению регрессии в естественном масштабе:

Уравнение множественной регрессии в естественном масштабе:

Экономическая интерпретация параметров уравнения:

b₁=0.064, это значит, что с увеличением x₁ – возраста рабочего на 1 год заработная плата рабочего увеличивается в среднем на 64 рубля, если при этом фактор x₂ - выработка рабочего не меняется и фиксирован на среднем уровне.

b₃=0,053, это значит, что с увеличением x₃ – выработки рабочего на 1 шт. в смену, заработная плата рабочего увеличивается в среднем на 53 рубля, если при этом фактор x₁ - возраст рабочего не меняется и фиксирован на среднем уровне.

a=0,313 не имеет экономической интерпретации, формально это значение результата y при нулевом значении факторов, но факторы могут и не иметь нулевого значения.

Найдем величину средней ошибки аппроксимации, таблица 7.

Ошибка аппроксимации А_i, i=1…15:

Средняя ошибка аппроксимации:

Ошибка небольшая, качество модели высокое.

Используем полученную модель для прогноза.

Если х₁ =35, х₂ =10, х₃ =20, то

у_р = 0,313 + 0,064•35 + 0,053•20 = 3,618 тыс. руб.

т. е. для рабочего данного цеха, возраст которого 35 лет, а выработка 20 шт. в смену, прогнозное значение заработной платы - 3618 руб.