Функциональный анализ

Абсолютно непрерывные функции. Связь между абсолютно непрерывными функциями и интегралом Лебега (КФЭ 394).

Абсолютно непрерывной называется такая функция ¦, заданная на отрезке [a,b], что какова бы ни была система попарно непересекающихся интервалов (a_k,b_k) с суммой длин меньшей d, сумма модулей разностей значений функции ¦ в концах интервалов меньше чем e.

Утв. Всякая абсолютно непрерывная ф-я имеет ограниченное изменение.

Теорема. Функция , представляющая собой неопределенный интеграл суммируемой ф-и, абсолютно непрерывна.

Метрическое пр-во. Определение и примеры. Полнота. Теорема о вложенных шарах в метрическом пр-ве.

Полугруппой наз. множество объектов, если для его элементов определена замкнутая ассоциативная бинарная операция.

Группой наз. множество объектов, если для его элементов определена замкнутая ассоциативная бинарная операция и существует единица.

Кольцо - множество объектов с двумя бинарными операциями, являющееся группой по одной из операций, и полугруппой по второй операции, причем для элементов кольца справедлив закон ассоциативности и дистрибутивности.

Поле – кольцо с единицей, содержащее элементы отличные от нуля, для каждого из которых определен обратный элемент по “умножению” (являющееся группой по умножению).

Линейным векторным пр-вом над кольцом наз. множество объектов называемых векторами с определенными операциями векторного сложения и умножения вектора на скаляр, такими, что это множество является группой по векторному сложению и справедливы законы ассоциативности и дистрибутивности для умножения на скаляр.

Выпуклым подмножеством Е векторного пр-ва Х называется такое его подмножество, что для любых его двух элементов х и у и числа q из [0, 1] элемент qх+(1-q)у принадлежит Е.

Уравновешенным подмножеством Е векторного пр-ва Х называется такое его подмножество, что для любого х из Е и числа q, по модулю не превосходящего единицы элемент qх принадлежит Е.

Абсолютно выпуклым подмножеством Е векторного пр-ва Х называется такое его подмножество, что для любых его двух элементов х и у и числа любых двух чисел ab : 1³|a|+|b| элемент aх+bу принадлежит Е.

Поглощающим подмножеством Е векторного пр-ва Х называется такое его подмножество, что для любого х из Х существует число a большее нуля, что для все чисел b по модулю не меньших a найдется элемент у из Е, что х равен bу.

Калибровочной функцией векторного пр-ва Х называется такая функция р(х): Х®R, что для нее выполнены следующие условия:

Для любого скаляра из К выполнена аксиома уравновешенности: "aÎК р(aх)= a×р(х).

Выполнено нер-во треугольника: р(х)+ р(у)³ р(х+у).

Полунормой векторного пр-ва Х называется такая функция р(х): Х®R, что для нее выполнены следующие условия:

Для любого скаляра из К выполнена аксиома уравновешенности: "aÎК ||aх||= |a|×||х||.

Выполнено нер-во треугольника: р(х)+ р(у)³ р(х+у).

Утв. Пусть р(a) – неотр. калибровочная ф-я. Тогда мн-во Е_l={х: р(х)<l}выпукло и поглощающее, р(х) - полунорма.

Нормированным называется такое векторное пр-во Х над полем К, если определена функция нормы ||×|| из Х в R, такая, что для нее справедливы следующие условия:

Норма неотрицательна и равна нулю лишь в том случае, когда сам элемент равен нулю: ||х||³0, ||х||=0 Û х=0.

Для любого скаляра из К выполнена аксиома уравновешенности: "aÎК ||aх||= |a|×||х||.

Выполнено нер-во треугольника: ||х||+ ||у||³||х+у||.

Метрическим пр-вом называется мн-во Х на котором задана бинарная функция r(х,у), для которой справедливы следующие условия:

r(х,у)=0 титт х=у. r(х,у)= r(у,х). r(х,z)£r(х,у) +r(у,z).

Полным называется такое метрическое пр-во, в котором любая фундаментальная посл-ть сх-ся.

Топологическим пр-вом называется такое множество Х в котором определена система его подмножеств t, называемая топологией, такая, что для нее справедливы условия:

Мн-во Х и пусто мн-во принадлежит t. Объединение и пересечение мн-в из t лежит в t.

Базой топологии пр-ва Х называется система открытых мн-в W из Х, таких, что всякое открытое мн-во из Х может быть представлено в виде конечной или бесконечной суммы мн-в из W.

Хаусдорфова топология (????).

Теорема. Пусть Х – векторное топологическое пр-во, тогда существует база окрестностей нуля, состоящая из замкнутых поглощающих мн-в.

Порождающая система полунорм (???).

Теорема. Локально выпуклое пр-во Х метризуемо титт, когда топология хаусдорфова и существует счетный набор порождающих полунорм.

Банаховы пр-ва. Теорема о вложенных шарах в банаховом пр-ве (КФЭ 81).

Банаховым пр-вом называется полное нормированное пр-во.

Теорема. Для того чтобы метрическое пр-во Х было полным необх. и дост., чтобы в нем любая посл-ть вложенных друг в друга замкнутых шаров, радиусы к-рых не стремятся к нулю, имела непустое пересечение.

Теорема Бера. Принцип сжимающих отображений (КФЭ 83).

Сжимающим называется такое отображение ¦ полного метрического пр-ва ¦: Х®Х, что существует число r<1, такое что rr (х,у)³r(¦(х),¦(у)).

Теорема. Для сжимающего отображения ¦ существует единственная неподвижная точка ¦(х)=х.

Теорема Бера. Полное метрическое пр-во Х не может быть представлено в виде объединения счетного числа нигде не плотных мн-в.

Теорема о пополнении (КГТ 12).

Пополнением метрического пр-ва Х называется метрическое пр-во У, такое, что выполнены следующие усл-я:

Y полно. Х лежит в Y. Х плотно в Y, т.е. каждая точка из Y является предельной для Х.

Теорема. Каждое метрическое пр-во Х допускает пополнение Y. Любые два пополнения пр-ва Х изометричны, причем изометрия, связывающая их, оставляет на месте точки Х.

Сепарабельность, компактность, критерий Хаусдорфа.

Сепарабельным называется такое топологическое пр-во Х, что в нем существует счетное всюду плотное мн-во Е, то есть для любого элемента из Х и для любой его окрестности найдется элемент из Е, принадлежащий этой окрестности.

Компактным подмножеством топологического пр-ва Х называется такое его подмножество А, что из любого покрытия мн-ва А системой открытых мн-в можно выделить конечное подпокрытие.

Предкомпактом называется множество, замыкание к-го компакт.

e-сеть для мн-ва В является такое мн-во А, что для любого элемента из В найдется элемент из А, отстоящий от него не далее, чем на e.

Критерий Хаусдорфа. Пусть Х – полное метрическое пр-во и А подмножество в Х. Мн-во А предкомпактно титт, когда для каждого e>0 мн-во А обладает конечной e-сетью.

Сл-е. В конечномерном нормированном пр-ве предкомпактность равносильна ограниченности.

Непрерывные функции на метрических компактах. Эквивалентность норм в Rⁿ.

Теорема. Пусть Х – компактное метрическое пр-во и ¦ - непрерывная на нем числовая ф-я. Тогда ¦ ограниченна на Х и достигает на Х верхней и нижней граней.

Эквивалентными в лин-ом пр-ве Х называются такие две нормы ||×||₁ и ||×||₂ , что существуют положительные числа a и b для которых справедливо нер-во a||x||₁£||x||₂£b||x||₁ при всех x из X.

Теорема. В конечномерном лин. пр-ве Х любые две нормы эквивалентны.

Теорема Асколи-Арцела (КГ 75).

Теорема Асколи-Арцела. Пусть С(Х) –нормированное пр-во вещественных непрерывных ф-й на метрическом пр-ве Х с нормой ||¦||=max|¦(x)|. Для того чтобы подмножество А мн-ва С(Х) было предкомпактным необх. и дост. Чтобы были оно удовлетворяло следующим условиям:

Мн-во А равномерно ограниченно т.е. для любой функции ¦ существует единое для всех число С, такое что модуль ¦ не превосходит это число: $С "¦|¦(х)|£С.

Мн-во А равностепенно непрерывно т.е. для любой функции ¦ и для любых двух точек х и у найдутся такие числа e и d, что как только расстояние между точками меньше, чем d разность аргументов функции ¦ меньше e: "¦"e>0 $d>0, справедливо |¦(х)-¦(у)|<e , если r(х,у)< d.

Критерий предкомпактности единичного шара (КГТ 74).

Теорема. Пусть Х – лин-ое нормированное бесконечномерное пр-во, тогда единичный шар B={x: ||x||<1}не является предкомпактным мн-вом.

Евклидовы пр-ва. Неравенство Коши-Буняковского.

Евклидовым называется такое лин-ое пр-во Х если для него справедливы следующие условия:

Определена операция ( , ): Х´Х®С.

(х,х)³0. (х,х)=0 Ûх=0.

.

(aх+bу,z)= a(х,z)+b(y,z).

Утв. Норму в Евклидовом пр-ве можно ввести следующим образом: .

Утв. Метрику в Евклидовом пр-ве можно ввести следующим образом:r(х,у)=||x-y||.

Теорема. Для любых двух элементов х и у из Х справедливо нер-во Коши-Буняковского:

|(x,y)|£||x||×||y||.

Предгильбертовым называется такое лин-ое пр-во Х если для него справедливы следующие условия:

Определена операция ( , ): Х´Х®С.

(х,х)³0.

.

(aх+bу,z)= a(х,z)+b(y,z).

Гильбертовым пространством называется полное бесконечномерное Евклидово пр-во.

Утв. Определение Гильбертова пр-ва эквивалентно предгильбертовости пр-ва с добавлением условия (х,х)>0 при x отличных от нуля.

Теорема о существовании и единственности элемента наилучшего приближения в гильбертовых пр-вах. Теорема о разложении в прямую сумму.

Ортонормированные системы. Процесс ортогонализации.

Опр. В Евклидовом пр-ве косинус между двумя векторами х и у можно определить как .

Ортогональной в Евклидовом пр-ве Х называется такая система векторов {x_a}, что при различных a и b (х_a,х_b)=0.

Ортогональным базисом в Евклидовом пр-ве Х называется такая ортогональная система , что ее лин-ая оболочка совпадает с Х.

Ортонормированной системой в Евклидовом пр-ве Х (о.н.с.) называется такая система векторов {x_a}, что при различных a и b (х_a,х_b)=0 и для всех векторов x_a ||x_a ||=1 .

Ортогонализацией л.н.з. системы векторов {y_a}называется процесс, ставящих ей в соотв. Новую системы векторов {x_a},являющуюся ортонормированной, такую, что лин-ые оболочки обоих систем совпадают.

Неравенство Бесселя, Теорема Рисса-Фишера.

Коэффициентами Фурье элемента ¦ из евклидова пр-ва X по о.н.с. {j_k} называется последовательность чисел c_k=(¦,j_k).

Рядом Фурье по о.н.с. {j_k} называется ряд S c_kj_k.

Неравенство Бесселя. Для любого элемента ¦ из евклидова пр-ва X и о.н.с. {j_k} справедливо нер-во: .

Замкнутой называется такая о.н.с. {j_k}, что для любого ¦ из евклидова пр-ва X справедливо равенство Парсеваля: .

Теорема Рисса-Фишера. Пусть {j_k} о.н.с. в полном евклидова пр-ва X и пусть числа c_k таковы, что сх-ся. Тогда существует такой элемент ¦ из X, что c_k=(¦,j_k) и .

Базисы, равенство Парсеваля и эквивалентные ему условия. Изоморфизм сепарабельных гильбертовых пр-в.

Теорема. Любые два сепарабельных Гильбертовых пр-ва изоморфны между собой.

Лин-ые операторы в нормированных пр-вах. Непрерывность и ограниченность. Полнота пр-в Т(l1,l2).

Лин. оператором (отображением) А из лин. пр-ва Х в лин. пр-во Y над полем К называется отображение для которого выполнена аксиомы лин-ости и уравновешенности: (aА)х=a(Ах), А(aх+bу)= aА(х)+ bА(у).

Норма оператора. Пусть Х, Y – нормированные пр-ва. Тогда норму оператора А можно задать так: .

Задача. Следующие нормы эквивалентны:

; ; ; ||A||=inf C: "х ||Ax||£C||x||.

Непрерывным называется такой лин-ый оператор А, что для любой последовательности x_n сходящейся к х последовательность А(x_n) сходится к А(х).

Ограниченным называется такой лин-ый оператор из лин. пр-ва Х в лин. пр-во Y, что он переводит ограниченное мн-во в ограниченное.

Задача. Оператор непрерывен титт, когда он ограничен.

Задача. Оператор непрерывен титт, когда он непрерывен в одной точке.

Лемма Цорна – Куратовского. Существование разрывных лин-ых функций на бесконечномерном нормированном пр-ве. Теорема Хана-Банаха в действительном случае.

Лин. функционалом определенном на лин-ом пр-ве X называется числовая функция.

Выпуклым фун-лом на действительном лин-ом пр-ве X называется такой фун-л p, что для любых x,y из X и 1³a³0 выполнено соотношение: p(ax+(1-a)y)£ap(x)+(1-a)p(y).

Положительно-однородным фун-лом на действительном лин-ом пр-ве X называется такой фун-л p, что для любых x из X и a>0 p(ax)= ap(x).

Однородно-выпуклым фун-лом называется положительно-однородным выпуклый фун-л.

Продолжением лин-ого фун-ла ¦₀, определенного на подпространстве X₀ действительного лин-ого пр-ва X называется такой лин-ый фун-л ¦, определенный на X, что¦(x)=¦₀(x) для всех x из X₀.

Подчиненным фун-лу p(x) на действительном лин-ом пр-ве X называется такой фун-л ¦, что ¦(x)£p(x) для всех x из X.

Теорема Хана-Банаха. Пусть p – однородно-выпуклый фун-л, заданный на действительном лин-ом пр-ве X, и пусть X₀ – лин-ое подпр-во X. Пусть ¦₀ лин-ый фун-л на X₀ , подчиненные на X₀ p(x). Тогда ¦₀ может быть продолжен до лин-ого фун-ла ¦ на X, подчиненного p(x) на всем X.

Теорема Хана-Банаха в комплексном случае. Ее следствия.

Однородно-выпуклым на комплексном лин-ом пр-ве X мы будем называть такой неотрицательный фун-л p, что для всех x,y из X и всех комплексных чисел l справедливы соотношения: p(x+y)£p(x)+p(y), p(lx)=| l|p(x).

Теорема Хана-Банаха в комплексном случае. Пусть p – однородно-выпуклый фун-л на комплексном пр-ве X, и пусть X₀ – лин-ое подпр-во X. Пусть ¦₀ лин-ый фун-л на X₀, такой, что |¦₀ (x)|£p(x) для x из X₀. Тогда Существует лин-ый фун-л ¦, являющийся продолжением ¦₀, такой, что |¦ (x)|£p(x) для x из X.

Непрерывные лин-ые фун-лы на пр-вах L_p (прямая теорема).

Непрерывные лин-ые фун-лы на пр-вах L_p (обратная теорема).

Непрерывные лин-ые фун-лы на гильбертовом пр-ве.

Непрерывные лин-ые фун-лы на С[а,в] (прямая теорема).

Сопряженные операторы.

Сопряженным пр-вом A* к лин-ому топологическому пр-ву A называется совокупность всех непрерывных лин-ых фун-лов на A.

Сопряженным оператором к лин-ому оператору A, отображающему лин. пр-во X в Y называется такой лин. оператор A^*, который отображает пр-во Y^* в X^*.

Теорема Банаха-Штейнгауза.

Существование непрерывных функций с расходящимися рядами Фурье.

Слабая сходимость. * слабая компактность единичного шара в пр-ве, сопряженном к сепарабельному.