Исследование линейной ЭЦ с постоянным и гармоническим ИЭЭ (стационарный режим)

Техническое задание на курсовую работу

Изучить заданный вариант электрической цепи (ЭЦ): состав, действие
ключей 1 S и 2 S , режимы работы ЭЦ.
1. Исследовать линейную ЭЦ до коммутации ключа 1 S (режим 1).
1.1 Рассчитать ЭЦ с постоянным источником электрической энергии (ИЭЭ):
- обосновать выбор метода расчета;
- определить токи и напряжения ветвей;
- выполнить проверку по балансу мощностей.
1.2 Рассчитать ЭЦ с гармоническим ИЭЭ:
- обосновать выбор метода расчета;
- определить токи и напряжения ветвей; - выполнить проверку по векторным
диаграммам токов и напряжений.
1.3 Рассчитать результирующие токи и напряжения ветвей при
одновременном действии постоянного ИЭЭ и гармонического ИЭЭ.

Вариант №29.

Данные электрической схемы:
R 1 = 20 Ом;
R 2 = 15 Ом;
R 3 =20 Ом;
R 4 =75 Ом;
R 5 =90 Ом;
R 6 =100 Ом;
E 1 = 75 B;
E 2 = 55 A;
L = 60 мГн;
C = 20 мкФ;
φ= -30 ° ;
ω = 1000 с -1 .

1 Исследование линейной ЭЦ с постоянным и гармоническим
ИЭЭ (стационарный режим)

Обоснование выбора метода расчета
В ЭЦ действуют два источника электрической энергии (ИЭЭ): источник
постоянной ЭДС Е 1 и источник переменной ЭДС Е 2 (t). Поскольку ЭЦ
линейная, то возможно применение принципа суперпозиции (наложения).
Сначала выполняется расчет на постоянном токе, при этом источник
переменной ЭДС исключается по правилу: участок цепи с E 2 (t)
закорачивается, ветвь с R2 остается. Затем выполняется расчет на
переменном токе, при этом источник постоянной ЭДС принимается 10E= т.е
закорачивается, сопротивление 1R остается. После этого результирующие
токи и напряжения получаются алгебраическим суммированием их
составляющих по постоянному и переменному току.

1.1. Расчет ЭЦ с постоянным ИЭЭ.
Постоянный ток можно рассматривать как предельный случай переменного
тока частотой 0 . Отсюда на постоянном токе:
сопротивление и напряжение на индуктивности
,0LX
L

сопротивление и ток ёмкости

),(разрыв
C
1
XC


0CUIC
.

Последовательность преобразований показана на рисунке 1.

Рисунок 1

Здесь приняты обозначения:
4545
345
3451212
345
012345

7590165
20165

17.838 ; 201535

20165
3517.83852.838

RRRОм
RR
RОмRRRОм
RR
RRRОм






Используя законы Кирхгофа рассчитываем токи и напряжения в цепи:

1
12
0

111222
34512
345
345
345
444
75
1.419 ;

52.838
1.4192028.39 ; 1.4191521.29

7528.3921.2925.32
25.3225.32
1.266 ; 0.153
20165
0.1537511.51 ;
E

IIA

R

UIRBUIRB
UUEUUB
UU
IAIIA
RR
UIRBU






5550.1539013.81 IRB

Напряжение на ёмкости С: 513.81 CUUB

Проверка правильности расчета по балансу мощностей ИЭЭ и потребителей,
основанному на законе сохранения энергии.
Мощность источника ЭДС: 11751.419106.425

EPEIВт
Суммарная мощность нагрузок (резисторов)
22222
1122334455
22222

1
1.419201.419151.266200.153750.15390
40.27130.20332.0551.7562.107106.392
ПОТРЕБ

E

PIRIRIRIRIR

ВтP





Проверка выполняется.

1.2 Расчет ЭЦ с гармоническим ИЭЭ
Расчетная ЭЦ на переменном токе дана на рисунке 2, где источник
постоянной ЭДС Е 1 исключен из схемы (короткое замыкание участка цепи).

Рисунок 2

По заданию ЭДС источника 2e(t) изменяется по гармоническому закону

222()cos()2cos(), AmetEtEt

поэтому расчет ЭЦ выполняем в комплексных величинах (действующие
значения).

Рисунок 3

Схема замещения рассматриваемой ЭЦ в комплексной форме дана на
рисунке 3.
Источник ЭДС в показательной форме комплексной величины

j30

2E55e47.63j27.5 B∘̇
.

Сопротивления реактивных элементов цепи
Емкостное сопротивление

C6
11

Zjjj50 Ом
C10002010


Индуктивное сопротивление

3
LZjLj10006010j60 Ом
.

Рассчитываем комплексные сопротивления ветвей и сопротивление всей
цепи относительно источника ЭДС:
j90j90

j60.95C5
1

j29.06

C5

j38.66

2L4

j12.76

1212

3
RZ9050e9050e
Z43.71e21.23j38.21 Ом
RZ90j50102.96e
ZRZ75j6096.05e Ом
ZZZ21.23j38.2175j6096.23j21.7998.66e Ом
Z
















∘∘

∘

∘
∘

∘

j12.76j12.76

j2.14123

j10.62

123

412
ZR98.66e2098.66e20

16.69e

ZR96.23j21.7920118.25e
16.68j0.62 Ом
ZRR201535 Ом
Сопротивление цепи относительно источника в преобразованной схеме












∘∘

∘

∘

j0.69
34ZZZ16.68j0.623551.68j0.6251.68e Ом∘

Используя законы Кирхгофа рассчитываем токи и напряжения в цепи:

30

30.692

12

0.69
30.6930.69

111

30.6930.69

222
55

1.0640.9150.543

51.68
1.0642021.2918.310.86 ;
1.0641515.9613.738.15 ;
j

j

j
jj

R

jj

R
Ee

IIejA

Ze

UIReejB
UIReejB
U

















∘

∘

∘
∘∘
∘∘

̇
̇̇
̇̇
̇̇
̇
3212

28.55
28.55

28.553
3
3
413

47.6327.518.310.8613.738.15

15.68.4917.76 B

17.76

0.8880.780.424

20
0.9150.5430.780.4240.1350.119

RRR
j
j

jR
EUUjjj
je
Ue
IejA
R
IIIjjj













∘
∘

∘

̇̇̇

̇
̇
̇̇̇41.31

41.3141.31

444

41.319048.69

4
534

0.18

0.187513.510.148.91 ;
0.186010.87.138.11 B
15.68.4910.148.917.13

j

jj

R

jjj

LL
CRRRL

eA

UIReejB
UIZeeej
UUUUUjjj











∘

∘∘
∘∘∘

̇̇
̇̇
̇̇̇̇̇
102.26
102.26

12.26

90
102.26

102.265
5
5

8.11

1.677.697.87 B
7.87

0.1570.1540.033

50
7.87

0.0870.0190.085

90
j
j

jC
C

j

C

j

jR
je
Ue
IejA
Ze
Ue
IejA
R























∘
∘

∘

∘
∘

∘

̇
̇
̇
̇

По результатам расчета ЭЦ с гармоническим ИЭЭ составляем векторную
диаграммы напряжений и токов, представленную на рисунках 4 и 5.

Рисунок 4

Рисунок 5

1.3 Результирующие значения токов и напряжений цепи
С учетом рассчитанных значений составляющих от воздействия постоянной
ЭДС записываем выражения для параметров цепи:

12
3
4
5
1.4191.0642cos(30.69) ;
1.2660.8882cos(28.55) ;
0.1530.182cos(41.31) ;
0.1530.0872cos(102.26) ;
0.1572cos(12.26) ;
13.817.872cos(102.26)
C
C
iitA
itA
itA
itA
itA
utB














∘
∘
∘
∘
∘
∘
;

10.82cos(48.69) ;LutB∘

1.4 Расчет результирующих токов и напряжений ветвей ЭЦ (t=0ˉ)
Согласно принципу суперпозиции, результирующие токи и напряжения
ветвей линейной ЭЦ равны алгебраической сумме их составляющих от
постоянного и гармонического ИЭЭ.

111
222
333
444
5

(0)1.4191.0642cos(30.69)2.713
(0)1.4191.0642cos(30.69)2.713
(0)1.2660.8882cos(28.55)2.369
(0)0.1530.182cos(41.31)0.344 L
IIiA
IIiA
IIiA
IIIiA
II











∘
∘
∘
∘
55(0)0.1530.1572cos(12.26)0.37
(0)0.1572cos(12.26)0.217
(0)13.817.872cos(102.26)11.45
(0)10.82cos(48.69)10.08
CC
CCC
LL
iA

IiA
UUuB
UuB










∘

∘

∘

∘

Эти величины используем при расчете переходного процесса в линейной ЭЦ.

2 Исследование переходного процесса в линейной ЭЦ
классическим методом
2.1 Составление уравнений переходного процесса
В ЭЦ ключ 1S коммутирует, в рассматриваемом примере 1S размыкается. В
результате, ветвь с источником тока выключается из цепи. В цепи с
источником ЭДС возникает переходный процесс, подлежащий изучению.
Целью исследования переходного процесса в ЭЦ на рисунке 6 является
расчет и построение зависимостей .CLu(t),i(t) Расчет может быть выполнен
классическим методом с решением системы дифференциальных уравнений
или операционным методом с применением преобразований Лапласа, а
также методом уравнений состояния с использованием компьютерного
моделирования и другими.

Рисунок 6

В классическом методе анализа переходных процессов в линейных ЭЦ с

двумя реактивными элементами С и L искомые зависимости представляются
в виде:
aa
12
LLLL12
УСТСВУСТ

aa
12
CCCC12

УСТСВУСТ

tt
I(t)=I+I(t)=I+Ae+Ae;
tt
U(t)=U+U(t)=U+Be+Be;

где CLУСТУСТU,I

– установившиеся значения напряжения на емкости и тока в

индуктивности;
)(),(tituСВСВLC - свободные составляющие переходного процесса;
1212A,A,B,B – постоянные интегрирования;
α 1 , α 2 – корни характеристического уравнения.
Выполняем расчеты в последовательности от простого к сложному:
при 0t , т.е. сразу после коммутации ключа S 1 ;
при t

, т.е. в установившемся режиме после коммутации;

при t0 , т.е. переходный процесс.

2.2 Определение начальных значений токов и напряжений ( 0t )
Цель расчета: определение значений ,,,,LLCCIUIU они необходимы при
нахождении постоянных интегрирования переходного процесса.
Из Н.Н.У. получаем: LL4CCiii0.344А;UU11.45В

1
L
1
3
13
L3L4C
C
CL5L
5
E75
i0.344
R20

U34.06 B

1111
RR2020
UUiRU34.060.3447511.453.19 B

U11.45

iiii0.3440.217 A

R90
















2.3 Определение установившихся значений токов и напряжений (t)
Цель работы: определение значений устLустLустCустCIUIU,,, , представленных

на рисунке 7, которые необходимы при нахождении постоянных
интегрирования.

Рисунок 7

1

1

345
1
345
3

1
345
5

75

1.982 ;

()20(7590)

20

207590()
20

1.9820.214
207590
0.2149019.29 ;

УСТ

LУСТУСТ
СУСТLУСТ
E

IA

RRR
R
RRR
R

IIA

RRR

UIRB









2.4 Формирование системы дифференциальных уравнений
Для упрощения расчетов преобразуем исходную схему. В преобразованной
схеме:

1
131
013

13

13

75
202020
37.5 ; 10
11112020

2020
E
RRR
EBRОм

RR

RR







Рисунок 8

По законам Кирхгофа определяем.

C

LC5C

5
L134LC0
L134LC0

C

CL
5

LCL1340

CCL
5

u(t)

i(t)i(t)i(t)C(u(t))
tR
i(t)(RR)u(t)u(t)E
i(t)(RR)L(i(t))u(t)E

t
u(t)

C(u(t))i(t)
tR
L(i(t))u(t)i(t)(RR)E
t

11
(u(t))u(t)i(t)
tCRC





























134
LCL0
1RR1
(i(t))u(t)i(t)E
tLLL













Подставляем числовые значения параметров цепи:

CCL
5
134
LCL0

4
66

5

134

33

03

C

11
(u(t))u(t)i(t)
tCRC

1RR1
(i(t))u(t)i(t)E
tLLL

1111

555.56; 510

CR201090C2010
11RR1075
16.667; 1417

L6010L6010
137.5
E625
L6010

(u(t))
t



































4
CL

LCL
555.56u(t)510i(t)
(i(t))16.667u(t)1417i(t)625
t














2.5 Определение корней α 1 и α 2 характеристического
уравнения

4
CCL

LCL

4

4

26

26

1,2
(u(t))555.56u(t)510i(t)
t
(i(t))16.667u(t)1417i(t)625
t

555.56510

(555.56)(1417)16.667510

16.6671417
19721.62100
19721972411.6210
986

21

























свj805j
.

Получены комплексно-сопряженные корни характеристического уравнения.
Переходной процесс будет затухающим, периодическим.
Определяем нули операторного сопротивления.

Рисунок 9

5

5

134134

5

5

2

551341345

5
364

5

63

5134
1345

1
R
RCp
Z(p)RRLpRRLp

1RCp1
R
Cp

RLCp(R(RR)CL)pRRR

RCp

RLC90601020101.0810
R(RR)CL90(1075)201060100.213
RRR10759























42

24
1,2св4
0175

Z(p)0; 1.0810p0.213p1750

0.2130.21341.0810175
p986j805j

21.0810













2.7 Определение постоянных интегрирования.

Расчет для напряжения конденсатора.

t
CCУСТCCBCУСТсв
t
CCУСТсв
t

свсвсв

0
CCУСТсв
C
U(t)UU(t)UBesin(t)
C(U(t))C(UBesin(t))
tt
CBe(sin(t)cos(t))

U11.45UBesin(0)19.29Bsin()
C(U)
t



















0
Cсвсвсв

св

6

9

C

i0.217CBe(sin(0)cos(0))

CB(sin()cos())

Bsin()11.4519.297.84

B8.75; 63.70.217

986Bsin()805Bcos()10850

2010

U(t)19.298.75e



















∘

86t

CC

sin(805t63.7) B

Проверка: U(0)19.298.75sin(63.7)11.45 BU









∘
∘

Расчет для тока катушки.

t
LLУСТLCBLУСТсв
t
LLУСТсв
t

свсвсв

0
LLУСТсв
L
i(t)ii(t)iAesin(t)
L(i(t))L(iAesin(t))
tt
LAe(sin(t)cos(t))

i0.344iAesin(0)0.214Asin()
L(i)
t



















0
Lсвсвсв

св

3

98

L

U3.19LAe(sin(0)cos(0))

LA(sin()cos())

Asin()0.3440.2140.13

A0.16; 54.43.19

986Asin()805Acos()53.17

6010

i(t)0.2140.16e



















∘

6t

LL
sin(805t54.4) A
Проверка: i(0)0.2140.16sin(54.4)0.344 A=i







∘
∘

По проведенным расчетам строим графики переходных процессов для
напряжения конденсатора и тока через катушку в программе MathCad
(рисунок 10).

Рисунок 10

Заключение

Проведено исследование ЭЦ в двух режимах работы. В линейной ЭЦ
(режим 1) расчет выполнен методом наложения решений ЭЦ с постоянным
ИЭЭ и гармоническим ИЭЭ. Результаты расчетов проверены по балансу
мощностей.
В линейной ЭЦ (режим 2) расчет выполнен классическим методом.
Переходный процесс колебательный затухающий.

Список использованных источников

1. Атабеков Г.Н. Теоретические основы электротехники. Линейные
электрические цепи: Учебник для вузов. Лань, 2009.
2. Лавров В.Я. Линейные электрические цепи. Установившиеся режимы:
учебное пособие/В.Я. Лавров – СПБ: ГУАП 2010.
3. Лавров В.Я. Основы теории цепей. Переходные процессы: учебное
пособие/В.Я.Лавров –СПб: ГУАП,2012
4. Колесников В.В. Основы теории цепей. Установившиеся режимы. Текст
лекций. Санкт-Петербург, ГУАП,2006
5. Колесников В.В. Основы теории цепей. Переходные процессы
четырехполюсника: текст лекций. СПб, ГУАП, 2006.
6. Атанов В.А. Основы теории цепей. Расчет цепей с управляемыми
источниками. Методические указания к курсовой работе. СПб, ГУАП, 2011.

Список использованных источников

1. Атабеков Г.Н. Теоретические основы электротехники. Линейные
электрические цепи: Учебник для вузов. Лань, 2009.
2. Лавров В.Я. Линейные электрические цепи. Установившиеся режимы:
учебное пособие/В.Я. Лавров – СПБ: ГУАП 2010.