Переходные процессы в электрических цепях

Содержание
TOC \o "1-3" \h \z \u 1. Введение. PAGEREF _Toc83052992 \h 52. Теоретическая часть. PAGEREF _Toc83052993 \h 62.1. Понятие о переходном процессе. PAGEREF _Toc83052994 \h 62.2. Законы коммутации. PAGEREF _Toc83052995 \h 62.3. Классический метод расчёта переходных процессов PAGEREF _Toc83052996 \h 72.4. Способы составления характеристического уравнения PAGEREF _Toc83052997 \h 92.5. Порядок расчёта переходных процессов классическим методом PAGEREF _Toc83052998 \h 92.6. Включение цепи RL на постоянное напряжение. PAGEREF _Toc83052999 \h 102.7. Включение цепи RC на постоянное напряжение PAGEREF _Toc83053000 \h 12Рис. 2.4. Включение RC цепи на постоянное напряжение PAGEREF _Toc83053001 \h 122.8. Переходные процессы в цепях с n-независимыми источниками энергии PAGEREF _Toc83053002 \h 133. Практическая часть. PAGEREF _Toc83053003 \h 16Заключение. PAGEREF _Toc83053004 \h 20Используемая литература. PAGEREF _Toc83053005 \h 21

1. Введение.При всех изменениях в электрической цепи: включении, выключении, коротком замыкании, колебаниях величины какого-либо параметра и т.п. – в ней возникают переходные процессы, которые не могут протекать мгновенно, так как невозможно и мгновенное изменение энергии, запасенной в электромагнитном поле цепи и ее переход в элементы цени (индуктивные элементы, емкостные, элементы активного сопротивления и т.д.).
Тем не менее, изучение переходных процессов важно, так как оно дает возможность установить, как деформируется по форме и амплитуде сигналы при прохождении их через усилители и другие устройства, позволяет выявить превышения напряжения на отдельных участках цепи, которые могут оказаться опасными для изоляции установки, увеличения амплитуд токов, которые могут в десятки раз превышать амплитуду тогда установившегося периодического процесса ( и вызвать недопустимые механические усилия), а также определить продолжительность переходного процесса.
Поэтому актуальность нашего исследования обусловлена необходимостью изучения методов анализа периодических режимов работы цепи.
Цель курсовой работы является ознакомление с физикой переходных процессов и поиск оптимального решения поставленной прикладной задачи.
2. Теоретическая часть.2.1. Понятие о переходном процессе.Переходным процессом называется процесс перехода от одного режима работы ЭЦ к другому, возникающий в результате коммутации в цепи.
Коммутацией называется процесс замыкания или размыкания рубильников, выключателей, в результате которого происходит изменение параметров цепи, её конфигурации, подключение или отключение источников. Будем считать, что коммутация производится мгновенно в момент t=0.
Изучение переходных процессов даёт возможность установить, как деформируются по форме и амплитуде сигналы при прохождении их через усилители, фильтры и другие устройства, позволяет выявить возможные превышения напряжения и токов на отдельных участках цепи, которые могут в десятки раз превышать их установившиеся значения.
2.2. Законы коммутации.Первый закон. В начальный момент времени после коммутации ток в индуктивности остаётся таким же, каким он был непосредственно перед коммутацией, а затем плавно изменяется.
(2.1)
Невозможность скачкообразного изменения тока следует из того, что в противном случае на индуктивности появилось бы бесконечно большое напряжение , что лишено физического смысла.
Второй закон. В начальный момент времени после коммутации напряжение на ёмкости остаётся таким же, каким было до коммутации, а затем плавно изменяется.
(2.2)
Невозможность скачкообразного изменения напряжения на ёмкости следует из того, что в противном случае через ёмкость проходил бы бесконечно большой ток , что также лишено физического смысла.
Следует отметить, что скачкообразно могут изменяться:
токи в сопротивлениях и емкостях;
напряжения на сопротивлениях и индуктивностях.
Значения токов в индуктивности и напряжение на ёмкости в момент коммутации называют независимыми начальными условиями.
2.3. Классический метод расчёта переходных процессовКлассический метод расчёта основан на решении неоднородных дифференциальных уравнений, выражающих законы Кирхгофа для мгновенных значений токов и напряжений.
Например, переходной процесс в цепи, состоящей из последовательно соединённых R,L,С элементов при включении в неё источника ЭДС е(t) описывается уравнением:
или (2.3)
Решение уравнения (6.3) ищется в виде
,
где - частное решение неоднородного уравнения
, (2.4)
- общее решение однородного дифференциального уравнения
. (2.5)
Функция зависит от вида воздействия и называется принужденной составляющей реакции цепи. Она может быть найдена любым методом расчёта установившегося процесса.
Функция не зависит от внешнего воздействия, определяется характером цепи, её начальными условиями и называется свободной составляющей реакции цепи (свободная составляющая тока).
В зависимости от параметров элементов цепи и соответственно вида корней характеристического уравнения, общее решение однородного дифференциального уравнения, приведенного в примере, ищется в виде:
корни характеристического уравнения действительные
, (2.6)
где А1, А2- постоянные интегрирования, определяемые из начальных условий; p1, p2 – корни характеристического уравнения.
В этом случае изменяется по экспоненциальному закону (рис. 2.1а)
11874572390iсв00iсв17907098425iсвА1+ А2
0
t
t
0

Ae-t
Asin
-Asin
а)
б)
00iсвА1+ А2
0
t
t
0

Ae-t
Asin
-Asin
а)
б)
685808636000
Рис.2.1. Временная зависимость свободной составляющей тока в случае
а) действительных корней характеристического уравнения б) комплексно-сопряженных корней.
Корни характеристического уравнения комплексно-сопряженные p1,2=j

Свободная составляющая изменяется по гармоническому закону с частотой и начальной фазой , с амплитудой, уменьшающейся по экспоненциальному закону (рис. 6.1, б)
2.4. Способы составления характеристического уравненияСуществует два способа составления уравнений:
1. В однородных дифференциальных уравнениях, составленных для мгновенных значений токов и напряжении по законам Кирхгофа, произвести замену или , или .
Найти главный определитель полученной после замены системы уравнений и приравнять его к нулю. =0. Полученное уравнение является характеристическим.
2. Записать комплексное входное сопротивление цепи относительно любой из её ветвей. Произвести замену j на р и полученное выражение приравнять к нулю.
Z(p)=Z(j)|j=p=0.
2.5. Порядок расчёта переходных процессов классическим методомОпределяются независимые начальные условия.
Составляются уравнения по законам Кирхгофа для цепи после коммутации.
Определяются принужденные составляющие токов и напряжений.
Составляется и решается характеристическое уравнение.
Определяются постоянные интегрирования.
Определяются переходные токи и напряжения.
2.6. Включение цепи RL на постоянное напряжение.В момент t=0 цепь рис. 2.2 включается на постоянное напряжение. Рассчитаем переходной ток в цепи
163830035560R
L
E
00R
L
E

Рис. 2.2. Включение цепи RL на постоянное напряжение.
До коммутации цепь не была подключена к источнику, поэтому i(–0)=0
Дифференциальное уравнение, составленное по второму закону Кирхгофа для цепи после коммутации, имеет вид . Решение этого уравнения ищется в виде .
Принужденная составляющая равна , т.к. в установившемся режиме в цепи будет протекать постоянный ток, а сопротивление индуктивности в этом случае равно нулю.
Однородное дифференциальное уравнение имеет вид . Перейдём к характеристическому уравнению:
.
Свободная составляющая тока равна .
.
При t=0 имеем
.
По первому закону коммутации i(0)=i(-0)=0, тогда
.
Окончательно имеем:
.
1009650711200

t
iE/R
iiСВ
iПР
-E/R
000

t
iE/R
iiСВ
iПР
-E/R
5029208255000
Рис. 2.3. Временная зависимость переходного тока.
Мерой длительности переходного процесса является постоянная времени .
Постоянная времени равна промежутку времени, в течение которого свободная составляющая тока убывает в е раз.
Графически постоянная времени определяется длинной подкасательной к кривой тока при любом значении t.
Теоретически переходной процесс длится бесконечно долго, практически он заканчивается за время t=(45)
2.7. Включение цепи RC на постоянное напряжение
106045052070Рис. 2.4. Включение RC цепи на постоянное напряжение00Рис. 2.4. Включение RC цепи на постоянное напряжение
Определим переходное напряжение на ёмкости при подключении цепи RC в момент t=0 к источнику постоянного напряжения (рис. 2.4).
Расчёт будем вести в соответствии с вышеизложенным порядком расчёта (см. 2.5, 2.6).
UC(-0)=0
Ri+uC=E
uC=uСпр +uCcвuCпр=E

5.
При t=0 uC(0)=E+A. По второму закону коммутации uC(-0)=uC(0)=0,
0=E+A A=-E.
6.
53340089535
00

Рис. 2.5. Временная зависимость переходного напряжения на ёмкости.
2.8. Переходные процессы в цепях с n-независимыми источниками энергииВ общем случае уравнение, описывающее переходный процесс в цепи с n независимыми накопителями энергии, имеет вид:
,    (2.7)
где х – искомая функция времени (напряжение, ток, потокосцепление и т.п.); а(е) - известное возмущающее воздействие (напряжение и (или) ток источника электрической энергии);  - к-й постоянный коэффициент, определяемый параметрами цепи.
Порядок данного уравнения равен числу независимых накопителей энергии в цепи, под которыми понимаются катушки индуктивности и конденсаторы в упрощенной схеме, получаемой из исходной путем объединения индуктивностей и соответственно емкостей элементов, соединения между которыми являются последовательными или параллельными.
В общем случае порядок дифференциального уравнения определяется соотношением
(2.8)
где  и  - соответственно число катушек индуктивности и конденсаторов после указанного упрощения исходной схемы;  - число узлов, в которых сходятся только ветви, содержащие катушки индуктивности (в соответствии с первым законом Кирхгофа ток через любую катушку индуктивности в этом случае определяется токами через остальные катушки);  - число контуров схемы, ветви которых содержат только конденсаторы (в соответствии со вторым законом Кирхгофа напряжение на любом из конденсаторов в этом случае определяется напряжениями на других).
Наличие индуктивных связей на порядок дифференциального уравнения не влияет.
Как известно из математики, общее решение уравнения (2) представляет собой сумму частного решения исходного неоднородного уравнения и общего решения однородного уравнения, получаемого из исходного путем приравнивания его левой части к нулю. Поскольку с математической стороны не накладывается каких-либо ограничений на выбор частного решения (2), применительно к электротехнике в качестве последнего удобно принять решение , соответствующее искомой переменной х в установившемся послекоммутационном режиме (теоретически для ).
Частное решение  уравнения (2) определяется видом функции , стоящей в его правой части, и поэтому называется принужденной составляющей. Для цепей с заданными постоянными или периодическими напряжениями (токами) источников принужденная составляющая определяется путем расчета стационарного режима работы схемы после коммутации любым из рассмотренных ранее методов расчета линейных электрических цепей.
Вторая составляющая  общего решения х уравнения (2) – решение (2) с нулевой правой частью – соответствует режиму, когда внешние (принуждающие) силы (источники энергии) на цепь непосредственно не воздействуют. Влияние источников проявляется здесь апосредованно через энергию, запасенную в полях катушек индуктивности и конденсаторов. Данный режим работы схемы называется свободным, а переменная  - свободной составляющей.
В соответствии с вышесказанным, .        общее решение уравнения (2) имеет вид
(2.9)
Соотношение (4) показывает, что при классическом методе расчета послекоммутационный процесс рассматривается как наложение друг на друга двух режимов – принужденного, наступающего как бы сразу после коммутации, и свободного, имеющего место только в течение переходного процесса.
Необходимо подчеркнуть, что, поскольку принцип наложения справедлив только для линейных систем, метод решения, основанный на указанном разложении искомой переменной х, справедлив только для линейных цепей.

3. Практическая часть.Для нахождения тока в цепи запишем уравнения Кирхгофа, одно по первому закону Кирхгофа для узла а, и два по второму закону Кирхгофа для контуров 1 и 2.

Рис. 3.1. Схема цепи.
Система уравнений по закону Кирхгофа для схемы цепи после коммутации:
iн=iL+iC iнRн+Ldiнdt+iLRL=εiLRL=Uc (3.1–3.3)
где iн – весь ток в неразветвленной части цепи, iL – ток в ветви, состоящей из резистора RL, iC – ток в ветви состоящей из конденсатора, Rн – сопротивление резистора, через который течёт ток iн, RL сопротивление резистора, через который течёт ток iL, ε – ЭДС источника, L – индуктивность катушки, Uc – падение напряжения на конденсаторе.
Схема цепи до коммутации не будет содержать ни напряжения на конденсаторе, ни тока в цепи индуктивности, т.к. вся цепь будет разомкнута.
Определяем установившиеся значения в цепи после окончания переходного процесса:


Для решения системы уравнений подставим выражение (3.1) в (3.2), получим:
iLRн+icRн+LdiLdt+Ldicdt+iLRL=ε (3.4)
Подставим значении функции iL= Uc/RL из выражения (3.3) в уравнение (3.4) и запишем получившееся уравнение (3.5).
(3.5)
Приведем данное выражение (3.5) к классическому виду обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка (3.6):
(3.6)
Подставляем численные значения параметров согласно варианту в уравнение (3.6), получим:

Для решения данного дифференциального уравнения составляем характеристическое уравнение и находим его корни:

Решаем данное квадратное уравнение, корнями которого будут являться числа и k2 = –1011.
Следовательно, общий вид свободной составляющей станет (т.к. корни уравнения действительны и отрицательны):
(3.7)
Значит, переходной процесс будет апериодическим.
Полное напряжение на конденсаторе будет выглядеть следующим образом с учетом принужденной составляющей:
(3.8)
Далее, с учетом начальных условий определяем постоянные интегрирования С1 и С2. Т.к. в начальный момент времени

Выражаем iн в зависимости от Uc, получаем:

Отсюда, получаем систему уравнений:

Решаем данную систему уравнений, получаем: C1 = –1,67, C2 = 0
Откуда, уравнение тока на нагрузке и напряжения на конденсаторе примет вид:


Строим графики функций (сплошной линией график тока на нагрузке, пунктиром – график напряжения на конденсаторе):

Рис. 3.2 – Графики зависимостей
Из рисунка 3.2 видно, что зависимость силы тока от времени имеет апериодический и быстро входит в установившийся режим.

Заключение.
Переходные процессы могут сильно влиять на продолжительность работы приборов. При создании цепей их нельзя не учитывать, так как это может привести к порче чувствительного оборудования. При создании сложных цепей, с использованием дешёвых или нечувствительных к резким изменениям параметров цепи элементов проще рассмотреть переходный процесс экспериментально, чтобы не тратить время на длинные и сложные расчёты. Если же цепь включает в себя чувствительные элементы (например милливольтметр), которые могут просто сломаться при резком скачке напряжения или тока, лучше рассчитать весь переходный процесс, даже если это потребует время.

Используемая литература.1. Попов В.П. Основы теории цепей: Учеб. для вузов. - 3-е изд., испр. - М: Высш.шк., 2010. - 575 с.
2. Методы формирования уравнений электрического равновесия цепей: Методические указания к выполнению расчетно-графической работы по дисциплине «Основы теории цепей» / Сост. Е.Н. Калачев. - Йошкар-Ола: МарГТУ, 2006. - 32с.
3. Бакалов В.П., Дмитриков В.Ф., Круг Б.Е. Основы теории цепей: Учеб. для вузов / Под ред. В.П.Бакалов. - 2-е изд., перераб. и доп. - М: Радио и связь, 2009 - 592 с.
4. Шебес М.Р., Каблукова М.Р. Задачник по теории линейных электрических цепей: Учеб. пособие для электротехнич., радиотехнич. спец. вузов -4-е изд., перераб. и доп. - М: Высш.шк., 2011. - 544с.