Электрические цепи переменного тока

Часть 2. Электрические цепи переменного токаДля показанной на рисунке 1 электрической цепи синусоидального переменного тока и параметров, приведенных в таблице 1: определить комплексные токи в каждой ветви в соответствие с правилами Кирхгофа;выполнить расчет узловых потенциалов и токов в каждой ветви в соответствие с методом узловых потенциалов; рассчитанные значения токов в каждой ветви по методу узловых потенциалов должны совпасть с соответствующими значениями токов, полученных по правилам Кирхгофа;выполнить расчет контурных токов и токов в каждой ветви по методу контурных токов; рассчитанные значения токов в каждой ветви по методу контурных токов должны совпасть с соответствующими значениями токов, полученных по правилам Кирхгофа; определить напряжения на источниках тока;рассчитать активную, реактивную и полную мощности тока через каждое сопротивление;рассчитать активную, реактивную и полную мощность каждого источника тока и источника ЭДС;проверить баланс активных и реактивных мощностей.Выполняя задание, нарисовать эквивалентную схему, учитывая замкнутые и разомкнутые ключи. На этой эквивалентной схеме пронумеровать узлы и показать контуры, а также показать обозначения и направления токов.Таблица SEQ Таблица \* ARABIC 1, Ом18.99, Ом58.78, мГн73.87, Ом25.84, Ом60.21, мГн55.44, Ом9.88, Ом4.54, мГн99.29, Ом6.2, Ом20.29, мГн97.57, Ом4.03, мкФ78.440, Ом74, мкФ26.381, Ом61.63, мкФ43.830, Ом65.84, мкФ86.65, В88.94, Ом25.15, мкФ37.92, В67.64, Ом38.43, мкФ76.69, В16.94, Ом43.96, мГн60.07, А9.64, Ом65.41, мГн78.57, А32.73f, Гц50Рисунок SEQ Рисунок \* ARABIC 1 –Исходная схема электрической цепиЗададимся положительными направлениями токов, а так же, определим положительный обход в контурах, как показано на рисунке 2.977908445500Рисунок 2Данная схема содержит p=17 ветвей и q=9 узлов и pток=2, для определения токов непосредственно с помощью законов Кирхгофа необходимо составить p-pток= 15 уравнений, по первому закону Кирхгофа q-1=8 уравнений и 7 уравнений по второму закону Кирхгофа. Составим уравнения по первому закону Кирхгофа:I4-I1-I2=0 для узла (1)I1+I2-I3=0 для узла (2)I3+I5-I6-I7=J1 для узла (3)-I8-I4-I5=0 для узла (4)I8-I9-I10=J2 для узла (5)I6+I7-I11-I12+I9=-J1 для узла (6)I10+I11-I13=0 для узла (7)I12-I14+I15=0 для узла (8)Составим уравнения по второму закону Кирхгофа для заданных контуров:UR11-UR10-UL1=E3 для контура IUL1+UR10+UR1+UR5-UR12-UC1=0 для контура IIUL2+UR6+UR13-UL5-UR3-UC2-UR12-UC1=E2 для контура IIIUR2+UL4-UL5-UR3-UC2=0 для контура IVUR13+UR14+UL6-UC5-UR7=E2 для контура VUR4+UL3+UR15+UC6-UC4-UR8-UR14-UL6=0 для контура VIUR15+UC6+UR16=E1 для контура VIIВыразим напряжения через токи согласно закону Ома:I1∙R11-I2∙R10+ZL1=E3 I2∙R10+ZL1+I3∙R1+I4∙R5-I5∙R12+ZC1=0 I8∙R6+ZL2+I9∙R13-I6∙R3+ZL5+ZC2-I5∙R12+ZC1=E2 I7∙R2+ZL4-I6∙R3+ZL5+ZC2=0 I9∙R13+I11∙R14+ZL6-I10∙R7+ZC5=E2 I12∙R4+ZL3+I14∙R15+ZC6-I13∙R8+ZC4-I11∙R14+ZL6=0 I14∙R15+ZC6+I15∙R16=E1 Составим систему уравнений для нахождения токов:I4-I1-I2=0I1+I2-I3=0I3+I5-I6-I7=J1-I8-I4-I5=0I8-I9-I10=J2I6+I7-I11-I12+I9=-J1I10+I11-I13=0I12-I14+I15=0I1∙R11-I2∙R10+ZL1=E3I2∙R10+ZL1+I3∙R1+I4∙R5-I5∙R12+ZC1=0I8∙R6+ZL2+I9∙R13-I6∙R3+ZL5+ZC2-I5∙R12+ZC1=E2I7∙R2+ZL4-I6∙R3+ZL5+ZC2=0I9∙R13+I11∙R14+ZL6-I10∙R7+ZC5=E2I12∙R4+ZL3+I14∙R15+ZC6-I13∙R8+ZC4-I11∙R14+ZL6=0I14∙R15+ZC6+I15∙R16=E1Определим комплексные сопротивления всех конденсаторов и катушек индуктивности:ZC1=1j∙ω∙C1=1j∙50∙2∙π∙78,44∙10-6=-40,6∙j ОмZC2=1j∙ω∙C2=1j∙50∙2∙π∙26,38∙10-6=-120,7∙j ОмZC4=1j∙ω∙C4=1j∙50∙2∙π∙86,65∙10-6=-36,8∙j ОмZC5=1j∙ω∙C5=1j∙50∙2∙π∙37,92∙10-6=-84∙j ОмZC6=1j∙ω∙C6=1j∙50∙2∙π∙76,69∙10-6=-41,5∙j ОмZL1=j∙ω∙L1=j∙50∙2∙π∙60,07∙10-3=18,9∙j ОмZL2=j∙ω∙L2=j∙50∙2∙π∙78,57∙10-3=24,7∙j ОмZL3=j∙ω∙L3=j∙50∙2∙π∙73,87∙10-3=23,2∙j ОмZL4=j∙ω∙L4=j∙50∙2∙π∙55,44∙10-3=17,4∙j ОмZL5=j∙ω∙L5=j∙50∙2∙π∙99,29∙10-3=31,2∙j ОмZL6=j∙ω∙L6=j∙50∙2∙π∙97,57∙10-3=30,6∙j Омсоставим систему уравнений в матричной форме записи:Решая данную систему уравнений с помощью MathCAD получим следующие токи:I1=-1,637+1,15∙j AI2=-1,343+1,975∙j AI3=-2,98+3,126∙j AI4=-2,98+3,126∙j AI5=-2,578+0,274∙j AI6=-0,526-6,011∙j AI7=-14,672+9,411∙j AI8=5,558-3,399∙j AI9=-19,192+3,82∙j AI10=-7,981-7,219∙j AI11=1,294-0,651∙j AI12=-26,044+7,87∙j AI13=-6,686-7,87∙j AI14=-7,498-6,103∙j AI15=18,545-13,973∙j A2. Определим потенциалы и токи всех ветвей с помощью узловых потенциалов, необходимо составить q-1=8 уравнений с помощью метода узловых потенциалов. Примем узел (9) за нулевой, т.е φ9=0 В.Определим проводимости каждого узлами и проводимости ветвей смежные с несколькими узлами:Y11=1R11+1R10+ZL1+1R5Y22=1R11+1R10+ZL1+1R1Y33=1R1+1R12+ZC1+1R2+ZL4+1R3+ZC2+ZL5Y44=1R5+1R12+ZC1+1R6+ZL2Y55=1R6+ZL2+1R13+1R7+ZC5Y66=1R2+ZL4+1R3+ZC2+ZL5+1R14+ZL6+1R4+ZL3+1R13Y77=1R7+ZC5+1R14+ZL6+1R8+ZC4Y88=1R4+ZL3+1R15+ZC6+1R16Y12=1R11+1R10+ZL1Y14=1R5Y23=1R1Y34=1R12+ZC1Y36=1R2+ZL4+1R3+ZC2+ZL5Y45=1R6+ZL2Y56=1R13Y57=1R7+ZC5Y67=1R14+ZL6Y68=1R4+ZL3Определим источники входящий ы каждый узел:I11=-E3R11I22=E3R11; I33=-J1; I44=0; I55=-J2-E2R13; I66=J1+E2R13; I77=0; I88=E1R16Составим систему уравнений методом узловых потенциалов:φ10∙1R11+1R10+ZL1+1R5-φ20∙1R11+1R10+ZL1-φ40∙1R5=-E3R11-φ10∙1R11+1R10+ZL1+φ20∙1R11+1R10+ZL1+1R1-φ30∙1R1=E3R11-φ20∙1R1+φ30∙1R1+1R12+ZC1+1R2+ZL4+1R3+ZC2+ZL5-φ40∙1R12+ZC1-φ60∙1R2+ZL4+1R3+ZC2+ZL5=-J1-φ10∙1R5-φ30∙1R12+ZC1+φ40∙1R5+1R12+ZC1+1R6+ZL2-φ50∙1R6+ZL2=0-φ40∙1R6+ZL2+φ50∙1R6+ZL2+1R13+1R7+ZC5-φ60∙1R13-φ70∙1R7+ZC5=-J2-E2R13-φ30∙1R2+ZL4+1R3+ZC2+ZL5-φ50∙1R13+φ60∙1R2+ZL4+1R3+ZC2+ZL5+1R14+ZL6+1R4+ZL3+1R13-φ70∙1R14+ZL6-φ80∙1R4+ZL3=J1+E2R13-φ50∙1R7+ZC5-φ60∙1R14+ZL6+φ70∙1R7+ZC5+1R14+ZL6+1R8+ZC4=0-φ60∙1R4+ZL3+φ80∙1R4+ZL3 +1R15+ZC6+1R16=E1R16Подставим числовые данные и запишем систему уравнений в матричном виде, решим данное уравнение с помощью MathCAD:φ10=-1320-174,513∙j Bφ20=-1231-225,096∙j Bφ30=-1175-284,451∙j Bφ40=-1332-161,935∙j Bφ50=-1827-45,56∙j Bφ60=-631,462-272,083∙j Bφ70=-729,345-272,553∙j Bφ80=-287,347+283,514∙j BОпределим токи в ветвях с помощью найденных узловых потенциалов:I1=φ10-φ20+E3R11=-1,637+1,15∙j AI2=φ10-φ20R10+ZL1=-1,343+1,975∙j AI3=φ20-φ30R1=-2,98+3,126∙j AI4=φ40-φ10R5=-2,98+3,126∙j AI5=φ40-φ30R12+ZC1=-2,578+0,274∙j AI6=φ30-φ60R3+ZC2+ZL5=-0,526-6,011∙j AI7=φ30-φ60R2+ZL4=-14,672+9,411∙j AI8=φ40-φ50R6+ZL2=5,558-3,399∙j AI9=φ50-φ60+E2R13=-19,192+3,82∙j AI10=φ50-φ70R7+ZC5=-7,981-7,219∙j AI11=φ60-φ70R14+ZL6=1,294-0,651∙j AI12=φ60-φ80R4+ZL3=-26,044+7,87∙j AI13=φ70-φ90R8+ZC4=-6,686-7,87∙j AI14=φ80R15+ZC6=-7,498-6,103∙j AI15=-φ80+E1R16=18,545-13,973∙j A3. Определим токи в ветвях методом контурных токов. Количество уравнений необходимых составить для данного метода p- pток -q+1=7. Зададимся контурными токами в соответствии с рисунком 3. Контурный ток I8k=J1, а контурный ток I9k =J2Определим сопротивления каждого контура и сопротивления ветвей, смежных с несколькими контурами.Z11=R10+ZL1+R11Z22=R10+ZL1+R1+R5+R12+ZC1Z33=R3+ZC2+ZL5+R12+ZC1+R6+ZL2+R13Z44=R3+ZC2+ZL5+R2+ZL4Z55=R14+ZL6+R7+ZC5+R13Z66=R4+ZL3+R15+ZC6+R8+ZC4+R14+ZL6Z77=R15+ZC6+R16Z12=R10+ZL1Z23=R12+ZC1Z34=R3+ZC2+ZL5Z35=R13Z56=R14+ZL6Z67=R15+ZC6Определим напряжения входящий в каждый контур:E11=E3E22=0E33=E2E44=0E55=E2E66=0E77=E1Составим систему уравнений методом контурных токов:I1k∙R10+ZL1+R11-I2k∙R10+ZL1=E3-I1k∙R10+ZL1+I2k∙R10+ZL1+R1+R5+R12+ZC1+I3k∙R12+ZC1=0I2k∙R12+ZC1+I3k∙R3+ZC2+ZL5+R12+ZC1+R6+ZL2+R13+I4k∙R3+ZC2+ZL5+I5k∙R13=E2I3k∙R3+ZC2+ZL5+I4k∙R3+ZC2+ZL5+R2+ZL4=J1∙(R2+ZL4)I3k∙R13+I5k∙R14+ZL6+R7+ZC5+R13-I6k∙R14+ZL6=E2-J2∙(R7+ZC5)-I5k∙R14+ZL6+I6k∙R4+ZL3+R15+ZC6+R8+ZC4+R14+ZL6+I7k∙R15+ZC6=-J2∙(R8+ZC4)I6k∙R15+ZC6+I7k∙R15+ZC6+R16=E1Подставим числовые данные и запишем систему уравнений в матричном виде, решим данное уравнение с помощью MathCAD:I1k=-1,637+1,15∙j I2k=-2,98+3,126∙j I3k=5,558-3,399∙j I4k=-5,032+9,411∙j I5k=-24,749+7,219∙jI6k=-26,044+7,87∙j I7k=18,545-13,973∙j С помощью контурных токов определим токи во всех ветвях:I1=I1k=-1,637+1,15∙j AI2=I2k-I1k=-1,343+1,975∙j AI3=I2k=-2,98+3,126∙j AI4=I2k=-2,98+3,126∙j AI5=-I2k-I3k=-2,578+0,274∙j AI6=-I3k-I4k=-0,526-6,011∙j AI7=I4k-J1=-14,672+9,411∙j AI8=I3k=5,558-3,399∙j AI9=I3k+I5k=-19,192+3,82∙j AI10=-I5k-J2=-7,981-7,219∙j AI11=I5k-I6k=1,294-0,651∙j AI12=I6k=-26,044+7,87∙j AI13=-I6k-J2=-6,686-7,87∙j AI14=I6k+I7k=-7,498-6,103∙j AI15=I7k=18,545-13,973∙j A4. Определим напряжения на источниках тока:По второму закону Кирхгофа определим напряжение на источнике тока:UJ1=I7∙R2+ZL4=-543,036-12,362∙j BUJ2=I13∙R8+ZC4+I10∙R7+ZC5=-1827-47,512∙j B5. Определим мощность на каждом элементе цепи:PR11=I1∙I1*∙R11=175,94 ВтPR10=I2∙I2*∙R10=219,215 ВтPR1=I3∙I3*∙R1=354,207 ВтPR5=I4∙I4*∙R5=75,169 ВТPR12=I5∙I5*∙R12=439,631 ВтPR2=I7∙I7*∙R2=7851 ВтPR3=I6∙I6*∙R3=359,719 ВтPR13=I9∙I9*∙R13=22510 ВтPR6=I8∙I8*∙R6=3141 ВтPR7=I10∙I10*∙R7=7137 ВтPR14=I11∙I11*∙R14=126,335 ВтPR4=I12∙I12*∙R4=4589 ВтPR8=I13∙I13*∙R8=7021 ВтPR15=I14∙I14*∙R15=424,338 ВтPR16=I15∙I15*∙R16=10940 ВтПросуммировав всю активную мощность, получим активную мощность потребления. Pпот=65360 ВтРассчитаем реактивную мощность на всех емкостях и индуктивностях:QC1=I5∙I5*∙XC1=-272,745 ВарQC2=I6∙I6*∙XC2=-4393 ВарQC4=I13∙I13*∙XC4=-3917 ВарQC5=I10∙I10*∙XC5=-9721 ВарQC6=I14∙I14*∙XC6=-3879 ВарQL1=I2∙I2*∙XL1=107,648 ВарQL2=I8∙I8*∙XL2=1048 ВарQL3=I12∙I12*∙XL3=17180 ВарQL4=I7∙I7*∙XL4=5292 ВарQL5=I6∙I6*∙XL5=1136 ВарQL6=I11∙I11*∙XL6=64,316 ВарГде XC1…….XL6 мнимая часть сопротивлений ZC1…..ZL6.Просуммировав всю реактивную мощность, получим реактивную мощность потребления. Qпот=2641 ВарПолная мощность потребления равна:Sпот=P2+Q2=65420 ВАОпределим активную мощность всех источников ЭДС и токов.PE1=ReE1∙I15*=1649 ВтPE2=ReE2∙I9*=-1298 ВтPE3=ReE3∙I1*=-27,73 ВтPJ1=Re-UJ1∙J1*=5235 ВтPJ2=Re-UJ2∙J2*=59803 ВтОтрицательная активная мощность говорит о том, что эти источники работают в режиме потребления.Определим общую активную мощность источников, просуммировав все мощности:Pист=65362 ВтОпределим реактивную мощность всех источников ЭДС и токов.QE1=ImE1∙I15*=1243 ВарQE2=ImE2∙I9*=-258,385 ВарQE3=ImE3∙I1*=-19,481 ВарQJ1=Im-UJ1∙J1*=119,168 ВарQJ2=Im-UJ2∙J2*=1555 ВарОпределим общую активную мощность источников, просуммировав все мощности:Qист=2641 ВарОпределим полную мощность источников.Sист=P2+Q2=65420 ВАБаланс активных, реактивных и полных мощностей сошелся, следовательно, расчет произведен верно.