Исследование устойчивости и качества системы регулятора скорости РС

Введение, постановка задачи   2

1.Синтез регулятора скорости РС   6

1.1.Определение передаточной функции неизменяемой части   6

1.2.Построение частотных характеристик объекта регулирования (неизменяемой части системы)  h 8

1.3.Построение желаемой частотной характеристики разомкнутой системы и синтез корректирующего устройства   9

1.4.Анализ качества по реакции на ступенчатое задающее воздействие   13

2.Исследование устойчивости и качества системы   14

2.1.Определение запасов устойчивости по логарифмическим частотным характеристикам   14

2.2.Построение реакции системы ω(t), i(t) на возмущающее воздействие – ступенчатое изменение ic(t)=1(t)   15

2.3.Построение реакции системы ω(t), i(t) на типовое трапецеидальное задающее воздействие   16

3.Исследование точности системы   18

3.1.Вычисление коэффициентов ошибок и систематических ошибок   18

3.2.Оценка степени влияния помех   19

3.3.Оценка ошибок системы моделированием    21

4.Конструктивные расчеты регулятора скорости   26

4.1.Определение параметров непрерывного регулятора скорости   26

4.2.Расчет алгоритма работы цифрового регулятора скорости   27

4.3.Анализ качества системы с цифровым регулятором скорости при ступенчатом изменении управляющего воздействия ωзt=1t   28

Заключение   30

Введение, постановка задачи

В работе необходимо провести исследование автоматизированного электропривода постоянного тока, функциональная схема которого представлена на рисунке 1.Рисунок 1 – Функциональная схема электроприводаСхема включает два контура регулирования: внутренний – контур регулирования тока и внешний – контур регулирования скорости. В контур регулирования тока входят регулятор тока (РТ), тиристорный преобразователь (ТП), звено, учитывающее электромагнитную инерцию двигателя постоянного тока (Д1), и датчик тока (ДТ). Регулирование тока в контуре осуществляется регулятором тока РТ, который получает информацию о задании управления iз от регулятора скорости РС и информацию о результатах управления от датчика тока ДТ. Регулирование тока осуществляется в соответствии с пропорционально-интегральным законом управления. В контур регулирования скорости входят регулятор скорости РС, замкнутый контур регулирования тока, звено, учитывающее механическую инерцию двигателя постоянного тока (Д2), и датчик скорости ДС. Сигнал задания для системы в целом формируется задатчиком интенсивности ЗИ, обеспечивающим необходимый темп изменения скорости. В остальном принцип функционирования контура скорости аналогичен контуру тока. При необходимости ограничение тока якоря двигателя i может осуществляться нелинейной обратной связью в регуляторе скорости. На основании функциональной схемы электропривода составляется структурная схема системы, представленная на рисунке 2, которая является основной исходной расчетной схемой. Параметры элементов представлены в Таблице 1. Структура и параметры регулятора скорости являются искомыми и определяются в процессе синтеза исходя из заданных показателей качества системы. К системе приложены воздействия: входной сигнал з(t), определяющий значение скорости электропривода (далее – задающее воздействие); нагрузка, действующая на валу двигателя и представленная в виде статического тока ic(t) (далее – возмущающее воздействие); сигнал помехи N(t), эквивалентными преобразованиями приведенный к входу регулятора скорости (далее – помеха).Рисунок 2 – Структурная схема электроприводаПередаточные функции элементов системы:Wртp=ρTяp+12TμKпKдтp;Wтпp=KпTμp+1;Wд1p=1ρTяp+1;Wд2p=ρTмp;Wдтp=Kдт;Wдcp=Kдc.Таблица 1 – Данные для расчетаНомер вариантаTяTмρKдтKпTμKдc10.010.080.0640.373.50.011Проектируемая система должна обеспечить следующие показатели качества переходного процесса при ωз(t)=1(t): перерегулирование σ≤(30–50) %; время достижения максимума tm=(0,15–0,2) с; время переходного процесса tп=(0,3–0,4) с. Требуемый порядок астатизма – второй.Синтез регулятора скорости РС Определение передаточной функции неизменяемой частиПроведем структурные преобразования структурной схемы (рисунок 3).Рисунок 3 – Структурные преобразованияОпределим передаточную функцию первого разомкнутого контура:Wр1p=Wд1pWд2p=1ρTяp+1∙ρTмp=1TяTмp2+TмpПередаточная функция первого замкнутого контура:Wз1p=Wр1p1+Wр1p=1TяTмp2+Tмp1+1TяTмp2+Tмp=1TяTмp2+Tмp+1Передаточная функция второго разомкнутого контура:Wдвp=WртpWтпpWз1p=ρTяp+12TμKпKдтp∙KпTμp+1∙1TяTмp2+Tмp+1=ρTяp+12TμKдтTяTмTμp4+TмTя+TмTμp3+Tм+Tμp2+pПередаточная функция неизменяемой части системы:Wнчp=Wдвp1+WдвpWдтp1Wд2p=ρTяp+12TμKдтTяTмTμp4+TмTя+TмTμp3+Tм+Tμp2+p1+ρTяp+12TμKдтTяTмTμp4+TмTя+TмTμp3+Tм+Tμp2+p∙KдтTмpρ=ρTяp+12TμKдтTяTмTμp4+TмTя+TмTμp3+Tм+Tμp2+pTяTмTμp4+TмTя+TмTμp3+Tм+Tμ+0.5TмTμp2+1+0.5TмpTяTмTμp4+TмTя+TмTμp3+Tм+Tμp2+p=ρTяp+12TяTмTμ2Kдтp4+2TμTмKдтp3Tя+Tμ+Kдтp2TяTм+2Tμ2+2TμTм+Kдтp2Tμ+TмПодставим значения переменных в полученную передаточную функцию:Wнчp=0.0640.01p+15.92∙10-8p4+1.18∙10-5p3+9.62∙10-4p2+0.037pХарактеристическое уравнение передаточной функции неизменяемой части:Dp=5.92∙10-8p4+1.18∙10-5p3+9.62∙10-4p2+0.037p=0Отсюда найдем полюсы: p1=0;p2=-98.92;p3,4=-50.2±j64.63Один из корней характеристического уравнения равен нулю, следовательно исходная нескорректированная система находится на границе устойчивости.Рисунок 4 – Структурная расчетная схема САУ Здесь Wpрс - передаточная функция корректирующего устройства (регулятора), Wpнч - передаточная функция неизменяемой части, включающая звенья, входящие в замкнутый контур тока, т.е. Wpрт , Wpтп ,Wpд1 ,Wpдт , и звено объекта управления W(p).Построение частотных характеристик объекта регулирования (неизменяемой части системы)Представим передаточную функцию неизменяемой части системы в виде последовательного соединения типовых звеньев:Wнчp=1.730.01p+1p0.0101p+10.0002p2+0.016p+1,где:W1p=1.790.01p+1p – изодромное звено, T1=0.01 c;ω1= 100 c-1W2p=10.0101p+1 – апериодическое звено, T2=0.0101 c;ω2= 99 c-1W3p=10.002p2+0.016p+1 – колебательное звено, T3=0.0002=0.0125,ω4=80 c-1Построив ЛАЧХ каждого звена и просуммировав их, получим ЛАЧХ неизменяемой системы.Все построения частотных характеристик выполнены в диапазоне от 1 до 1000 с-1. Для построения характеристик были выбраны следующие масштабы: по частоте – 1 декада на 50 мм; по усилению – 20 дБ на 10 мм; по фазе – 90° на 30 мм.Для построения фазовых характеристик выбираем частоты ω в диапазоне 1 с-1÷1000 с-1:φ1ω=-arctg10.01ω – ЛФЧХ изодромного звена;φ2ω=-arctg0.0101ω – ЛФЧХ апериодического звена;φ31ω=-arctg0.016ω1-0.0125ω2 – ЛФЧХ колебательного звена при ω<1T;φ31ω=-π-arctg0.016ω1-0.0125ω2 – ЛФЧХ колебательного звена при ω>1T.ЛФЧХ неизменяемой части: φнч=φ1+φ2+φ3Таблица 2 – Расчет ЛФЧХω, c-101510501002005001000φ1(ω),°-90-89.5-87.1-84.3-63.4-45-26.6-11.3-5.7φ2(ω),°0-0.6-2.9-5.8-26.8-45.3-63.7-78.8-84.4φ3(ω),°0-0.9-4.6-9.2-52.7-109.4-148.6-168.1-174.1φнч(ω),°-90-90.9-94.6-99.3-142.9-199.7-238.9-258.2-264.2ЛАЧХ и ЛФЧХ объекта регулирования представлены на рисунке 5. Построение желаемой частотной характеристики разомкнутой системы и синтез корректирующего устройстваПри известной логарифмической амплитудной частотной характеристике объекта регулирования L0(ω) и сформированных на основе исходных требований качества желаемой логарифмической частотной характеристики разомкнутого контура системы Lж(ω) искомая логарифмическая частотная характеристика регулятора Lр(ω) определяется выражением:Lрω=Lжω-L0(ω)Синтез контура регулирования, таким образом, сводится к подбору динамического звена с частотными характеристиками Lр(ω) и к расчету соответствующих параметров этого звена.Построение желаемой амплитудной частотной характеристики производится по исходным требованиям качества, согласно алгоритму, по которому:1) частоту среза ЖЛАЧХ определяем по формуле:ωc=πtm=3.140.2=15.7 c-12) среднечастотную часть ЖЛАЧХ проводят через ωс с наклоном -20 дБ/дек.3) наклон ЖЛАЧХ в низкочастотном диапазоне зависит от требуемого порядка астатизма. По заданию требуемый порядок астатизма – 2, следовательно, наклон ЖЛАЧХ в этом диапазоне будет составлять -40 дБ/дек;Граница низкочастотной области вычисляется по заданным показателям качества и имеет вид:ωн=2tп-tm=20.4-0.2=10 c-14) высокочастотная часть ЖЛАЧХ слабо влияет на динамические характеристики системы, поэтому, высокочастотные части ЖЛАЧХ и исходной ЛАЧХ имеют одинаковый наклон: -60 дБ/дек. Границу высокочастотной области пример равной ωв=80 с-1.Исходная ЛАЧХ, желаемая ЛАЧХ и ЛАЧХ регулятора скорости представлены на рисунке 5.Вид ЛАЧХ регулятора позволяет найти передаточную функцию регулятора, которая будет выглядеть следующим образом:Wpcp=90.32(0.1p+1)pПередаточная функция желаемой ЛАЧХ имеет вид:Wжp=Wpcp∙Wнчp=0.16p2+ 17.19p + 156.31.2∙10-6p5+0.00028p4+ 0.026p3+p2Рисунок 5 – ЛАЧХ и ЛФЧХ Анализ качества по реакции на ступенчатое задающее воздействиеС помощью моделирующего комплекса Simulink оценим показатели качества полученной системы при входном ступенчатом воздействии.Рисунок 6 – Схема системы регулирования скоростиРисунок 7 – Реакция системы регулирования скорости на входное единичное ступенчатое воздействиеОсновные показатели качества переходного процесса:1) перерегулирование σ=41.5% ∈30;50%2) время достижения максимума tm=0.15 с ∈0.15;0.2 с3) время переходного процесса tп=0.37 с∈0.3;0.4 сСпроектированная система обеспечивает заданные показатели качества переходного процесса.Исследование устойчивости и качества системы Определение запасов устойчивости по логарифмическим частотным характеристикамОценим устойчивость системы по желаемым ЛАЧХ и ЛФЧХ (рисунок 8).Рисунок 8 – ЛАФЧХ желаемой системыЗапасы устойчивости:по амплитуде ∆L=17.1 дБ>6 дБ;по фазе ∆φ=44.1°>30°.Запасы устойчивости полученной системы удовлетворяют заданным показателям. Построение реакции системы ω(t), i(t) на возмущающее воздействие – ступенчатое изменение ic(t)=1(t)С помощью моделирующего комплекса Simulink определим реакцию замкнутой системы регулирования скорости ωt, it при единичном ступенчатом воздействии ic(t)=1(t). Управляющее воздействие при этом полагается равным нулю: ωз(t)=0(t).Рисунок 9 – Структурная схема замкнутой системы регулирования при воздействии единичного ступенчатого возмущающего воздействия ict=1t (ωз(t)=0(t))Рисунок 10 – Реакция тока it при воздействии единичного ступенчатого возмущающего воздействия ict=1t (ωзt=0t, Nt=0)Рисунок 11 – Реакция скорости ωt при воздействии единичного ступенчатого возмущающего воздействия ict=1t (ωзt=0t, Nt=0) Построение реакции системы ω(t), i(t) на типовое трапецеидальное задающее воздействиеС помощью моделирующего комплекса Simulink моделируем реакцию замкнутой системы регулирования скорости ω(t), i(t) при трапецеидальном законе изменения задающего воздействия ωзt с временами разгона, торможения и работы на установившейся скорости по 1с и значением установившейся скорости, равном 1 (рисунок 12). Возмущающее воздействие при этом полагается равным нулю ict=0. При разгоне и торможении возникают переходные процессы (рисунок 13), которые очень быстро затухают, а величина установившейся ошибки принимает значение εуст= 0. Поскольку трапецеидальное воздействие было реализовано при помощи линейных элементов, система отрабатывает ее без ошибки, а это свидетельствует о втором или большем порядке астатизма. Полученный результат удовлетворяет требуемому условию.Рисунок 12 – Структурная схема системы регулирования при трапецеидальном воздействии и ict=0, Nt=0Рисунок 13 – Реакция системы регулирования скорости ωt и тока it при трапецеидальном воздействии и ict=0, Nt=0Исследование точности системы Вычисление коэффициентов ошибок и систематических ошибокДля оценки точности системы используется передаточная функция системы по ошибке Gε(p), которая определяется по структурной схеме замкнутой системы: Gεp=11+Wжp=1.2∙10-6p5+0.00028p4+0.026p3+p21.2∙10-6p5 +0.00028p4+0.026p3+1.16p2+17.2p+156.3=EpXpВыражение для ошибки Ep=Gεp∙X(p) при разложении Gεp в ряд МакЛорена, сходящийся при малых значениях p→0 (т.е. t→∞), имеет вид:Ep=XpGε0+Gε'pp+Gε''p2!p2+Gε'''p3!p3+…+Gεnpn!pn=c0Xp+c1pXp+c2p22!Xp+c3p33!Xp+…+cnpnn!Xp=0∙Xp+0∙pXp+0.013p22!Xp…Откуда имеем c0=0;c1=0;c2=0.013 – коэффициенты ошибок системы регулирования, по которым можно оценить величину систематической установившейся ошибки при различных входных воздействиях x(t):εp=c0xt+c1dxtdt+c22!d2xtdt2+…+cnn!dnxtdtn=0∙xt+0∙dxtdt+0.0132!d2xtdt2… Значения установившихся ошибок:при единичном ступенчатом задающем воздействии ωзt=1(t)xt=1t; dxtdt=0εуст=c0∙1t=0∙1t=0при линейно нарастающем задающем воздействии ωзt=t∙1(t)xt=t∙1t; dxtdt=1; d2xtdt2=0εуст=c0∙1t+c1∙dxtdt=0∙t∙1t+0∙1=0при параболическом задающем воздействии ωзt=t2∙1(t)xt=t2∙1t; dxtdt=2t; d2xtdt2=2; d3xtdt3=0εуст=c0∙1t+c1∙dxtdt+c22!∙d2xtdt2=0∙t2∙1t+0∙2t+2∙6,5∙10-3=0.013 Оценка степени влияния помехИспользуя ЛАЧХ на рисунке 5, рассмотрим влияние помехи на замкнутые контуры регулирования скорости и тока. Для этого определим амплитуды пульсации ω(t) и i(t), обусловленные регулярной помехой Nt=aNsinωNt, где aN=0.01;ω=40 c-1, приложенной к входу системы.По рисунку 5:LрωωN=Lрω40=20lgAрω-8.16=20lgAрωAрω=0.39φрωωN=φрω40=-143°AзωωN=AрωAрω2ωN+2AрωωN∙cosφрωωN+1=0.390.392+2∙0.39∙cos-143°+1=0.54Амплитуда пульсации скорости: aω=aN∙AзωωN=0.01∙0.54=0.0054Определим амплитуду пульсации тока:Wд2p=ρTмp=0.0640.08p=0.8pAд2ωN=Wд2ωN=0.8ωN=0.840=0.02AзiωN=AзωωNAд2ωN=0.540.02=27Амплитуда пульсации тока: ai=aN∙AзiωN=0.01∙27=0.27 Оценка ошибок системы моделированиемРезультаты, полученные в пункте 3.1, проверяем моделированием в пакете Simulink. Для этого на вход системы поочередно подаем ступенчатое ωзt=1t (рисунки 14, 15), линейно нарастающее ωзt=t (рисунки 16, 17) и параболическое ωзt=t2 (рисунки 18, 19) задающие воздействия и измеряем величину установившейся ошибки. Рисунок 14 – Структурная схема САУ при ступенчатом задающем воздействии ωзt=1t Рисунок 15 – Реакция системы на ступенчатое задающее воздействие ωзt=1t Рисунок 16 – Структурная схема САУ при линейно нарастающем задающем воздействии ωзt=t Рисунок 17 – Реакция системы на линейно нарастающее задающее воздействие ωзt=t Рисунок 18 – Структурная схема САУ при параболическом задающем воздействии ωзt=t2 Рисунок 19 – Реакция системы на параболическое задающее воздействие ωзt=t2, εуст=0.013Значения ошибок, полученные при подаче ступенчатого ωзt=1t , линейно нарастающего ωзt=t и параболического ωзt=t2 задающих воздействий, подтверждают значения ошибок, полученных в пункте 3.1. Результаты, полученные в пункте 3.2 также проверим с помощью моделирования в пакете Simulink при подаче на вход системы помехи Nt=aNsinωNt. Рисунок 20 – Структурная схема САУ при влиянии помех на вход системы Nt=aNsinωNtРисунок 21 – Величина установившейся амплитуды скорости ω при влиянии помехи Nt=aNsinωNt, aω=0.0059Рисунок 22 – Величина установившейся амплитуды тока i при влиянии помехи Nt=aNsinωNt, ai=0.29Значения установившихся амплитуд скорости aω и тока ai, полученные при подаче на вход помехи Nt=aNsinωNt, подтверждают значения ошибок, полученных в пункте 3.2. Конструктивные расчеты регулятора скорости Определение параметров непрерывного регулятора скоростиПринципиальная схема регулятора реализуется в виде активного фильтра, изображенного на рисунке 23.Передаточная функция регулятора имеет вид:Wpcp=90.32(0.1p+1)pЗадаемся C=0.1 мкФ и вычисляем:R1=1K∙C=190.32∙0.1∙10-6=110 кОм;R2=TC=0.10.1∙10-6=1 МОм;1Rз=1R1+1R1+1R2R3=R1∙R22R2+R1=52.45 кОмРисунок 23 – Принципиальная схема регулятора скоростиИз стандартного ряда значений сопротивлений Е96, соответствующего резисторам с допуском ±1%, принимаем: R1=110 кОм; R2=1 МОм;R3=52.3 кОм. Расчет алгоритма работы цифрового регулятора скоростиДля перехода от передаточной функции аналогового регулятора скорости Wрсp к соответствующей дискретной передаточной функции Wрсz выполним подстановку p=z-1Tz, где T=0.02 с – период дискретизации по времени.Wpcp=90.32(0.1p+1)pWpcz=90.32(0.1∙z-10.02z+1)z-10.02z=90.320.12z-0.1z-1Преобразуем полученную дискретную передаточную функцию Wpcz:Wpcz=9.032-10.84z-11-z-1=iзzεz εz∙9.032-10.84z-1=iзz∙1-z-19.032εz-10.84z-1εz=iзz-z-1iзziзz=9.032εz-10.84z-1εz+z-1iзzПерейдем к решетчатой функции z-1=nT:iзnT=9.032εnT-10.84εnT-T+iзnT-TИтак, получили алгоритм работы цифрового регулятора в виде разностного уравнения общего вида:iзnT=a1εnT+a2εnT-T+a3nT-2T+…+b1iзnT-T+b2iзnT-2T+…где a1=9.032;a2=-10.84;a3=0;b1=1;b2=0. Анализ качества системы с цифровым регулятором скорости при ступенчатом изменении управляющего воздействия ωзt=1tПри помощи пакета Simulink построим переходный процесс в системе с цифровым регулятором при единичном ступенчатом входном воздействии ωзt=1. Рисунок 24 – Структурные схемы САУ с аналоговым и цифровым регуляторами Рисунок 25 – Реакция системы регулирования скорости ωt с аналоговым и цифровым регулятором при ωзt=1 и ict=0, Nt=0Как видно из рисунка 25 у цифрового регулятора время достижения максимума tm меньше, чем у аналогового регулятора. Величина перерегулирования σ у цифрового регулятора больше на ≈44%, а время переходного процесса больше на ≈21%.ЗаключениеГлавной целью курсового проекта являлся синтез последовательного корректирующего устройства – регулятора скорости для автоматизированного электропривода постоянного тока. С помощью математического аппарата и графических построений ЛАЧХ и ЛФЧХ удалось синтезировать регулятор скорости. Помимо синтеза корректирующего устройства, необходимо было проанализировать его поведение при различных процессах: реакцию при различных задающих воздействиях (ступенчатом, линейно нарастающем, параболическом и трапецеидальном), возмущающем единичном ступенчатом воздействии и влияние постоянных помех. Все смоделированные показания подтвердили расчетные значения. Реакции регулятора скорости при различных процессах представлены на соответствующих графиках. В ходе выполнения курсовой работы был использован комплекс Matlab и его приложение - Simulink, в которых происходил анализ полученного регулятора при различных условиях. В результате мы получили последовательное корректирующее устройство, которое обеспечивает качественное регулирование и устойчивость ко всем исследованным возмущающим процессам. Спроектированная система обеспечивает все заданные показатели качества переходного процесса:1) перерегулирование σ=41.5% ∈30;50%2) время достижения максимума tm=0.15 с ∈0.15;0.2 с3) время переходного процесса tп=0.37 с∈0.3;0.4 с4) порядок астатизма – второй.Также был произведен анализ цифрового регулятора скорости, полученный регулятор скорости удовлетворяет требуемым показателям качества и точности.