Всё сдал! - помощь студентам онлайн Всё сдал! - помощь студентам онлайн

Реальная база готовых
студенческих работ

pencil
Узнай стоимость на индивидуальную работу!
icon Цены в 2-3 раза ниже
icon Мы работаем
7 дней в неделю
icon Только проверенные эксперты

Численное решение алгебраических проблем собственных значений

Тип Реферат
Предмет Математика
Просмотров
1236
Скачиваний
722
Размер файла
151 б
Поделиться

Численное решение алгебраических проблем собственных значений

Численное решение алгебраических проблем собственных значений: степенной метод.

Екатеринбург 2006


Введение

Выбор наиболее эффективного метода определения собственных значений и собственных векторов для конкретной инженерной задачи зависит от ряда факторов, таких, как тип уравнений, число искомых собственных значений и их характер. Различают полную (алгебраическую) проблему собственных значений, предполагающую нахождение всех собственных пар {λ, v} матрицы А, и частичную проблему собственных значений, состоящую как правило, в нахождении одного или нескольких собственных чисел λ и, соответствующих им собственных векторов v. Достаточно часто возникают задачи поиска наибольшего и наименьшего по модулю собственных значений квадратной матрицы – знание таких характеристик матрицы позволяют, например, делать заключения о сходимости итерационных процессов, оптимизировать параметры итерационных методов, учитывать влияние на результаты решения алгебраических задач погрешностей исходных данных. Другой пример: имеется матрица размера 5000*5000, в каждой строке которой содержится порядка десяти отличных от нуля элементов (разреженная матрица), и требуется найти только несколько, может быть, четыре или пять, собственных значений. Нахождение всех собственных пар разреженной матрицы представляет собой достаточно сложную вычислительную проблему.

Итерационные методы позволяют находить собственные значения и векторы, минуя процедуру построения характеристического полинома. Отличительной чертой этих методов является то, что собственные значения находятся лишь после определения собственных векторов. Рассмотрим метод, который позволяет найти наибольшее по модулю собственное значение матрицы и соответствующий собственный вектор - степенной метод.


Степенной метод

Классическим методом, который иногда оказывается полезным для больших разреженных систем, хотя и страдает серьезными недостатками, является степенной метод. Предположим, что собственные значения матрицы вещественны и удовлетворяют условию

(1)

При заданном векторе рассмотрим последовательность

(2)

Предположим, что матрица имеет n линейно независимых собственных векторов соответствующих собственным значениям (это имеет место, например, в случае симметричной матрицы А). Разложим по собственным векторам:

Пусть , тогда, учитывая (2):

Разделим обе части равенства на λ1k ≠ 0.

В силу (1) все множители стремятся к нулю при k→ ∞ и вектор по направлению приближается к собственному вектору :

при k→ ∞, (4)

Если , то норма вектора будет при этом стремиться к нулю, либо неограниченно возрастать, если . На практике вычисляемые векторы нормируют на каждой итерации, а в качестве критерия окончания процесса используют условие:

.

Формульно-словесное описание метода:

1. Выбираем : , k=0, ε – точность вычисления компонент собственного вектора

2. k = k+1

3. Вычисляем

4. Ищем координату :

5. Образуем вектор

6. Если , то собственным значением является ;

= ; в противном случае перейти к п. 2.

Существует модификация степенного метода, которая отличается от предыдущего алгоритма критерием остановки итерационного процесса.

Формульно-словесное описание метода:

1. Выбираем : , k=0, ε – точность вычисления максимального по модулю собственного значения, - некоторый допуск (близость к нулю компонент вектора );

2. k = k+1;

3. Вычисляем ;

4. Ищем координату : ;

5. Образуем вектор ;

6. Вычисляем для таких i, что , где - допуск;

7. Если , то собственным значением является , где j – число индексов, для которых выполняется условие ; в противном случае перейти к п. 2.

Основным достоинством степенного метода является то, что векторы получаются только с помощью умножения матрицы на вектор (плюс некоторая работа по вычислению нормирующих множителей); никаких преобразований самой матрицы при этом не требуется. Главный недостаток этого метода заключается в том, что он может сходиться очень медленно. Скорость сходимости в первую очередь определяется отношением . Если это отношение по модулю близко к 1, что характерно для многих практических задач, то сходимость будет медленной.

Степенной метод имеет и другие недостатки. Если имеется несколько собственных значений с максимальным модулем, например (а так всегда бывает в случае вещественной матрицы с доминирующей парой комплексно-сопряженных собственных значений), то итерационная последовательность (2) вообще не сходится.

Задание на лабораторную работу

Цель работы: изучение степенных методов расчета максимального по модулю собственного значения и соответствующего собственного вектора квадратной матрицы.

1. Ознакомиться со степенным методом вычисления максимального по модулю собственного значения матрицы A и его модификациями.

2. Составить и отладить программы, рассчитывающие максимальное по модулю собственное значение и соответствующий ему собственный вектор матрицы А произвольной.

3. Элементы матрицы А должны считываться из файла, точность расчета ε вводится с клавиатуры.

4. При проверке работоспособности программ для n=2 и n=3 выполнить ручной расчет собственных значений и собственных векторов матрицы А.

5. Нахождение собственных векторов и собственных значений следует провести, используя самостоятельно составленные и предложенные ниже тестовые примеры:

, ,.

6. При заданной точности расчета ε фиксировать выполненное число итераций k.

7. Составить отчет, который должен содержать следующие разделы:

- описание степенного метода и его модификаций

- описание исходных данных

- схемы-алгоритмов

- тексты программ;

- результаты расчетов тестовых примеров с использованием разработанных программ;

- анализ полученных результатов, выводы по работе;

- список литературы.


БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Вержбицкий В.М. Основы численных методов: Учебник для вузов. – М.: Высш. шк., 2002. – 840с.

2. Волков Е.А. Численные методы: Учебное пособие. – 3-е изд., испр. – СПб: Лань, 2004. – 248с.

3. Кетков Ю.Л. MATLAB 6: программирование численных методов. – СПб.: БВХ-Петербург, 2004. – 672с.

4. Турчак Л.И. Основы численных методов: Учебное пособие. – М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1987. – 320с.


Нет нужной работы в каталоге?

Сделайте индивидуальный заказ на нашем сервисе. Там эксперты помогают с учебой без посредников Разместите задание – сайт бесплатно отправит его исполнителя, и они предложат цены.

Цены ниже, чем в агентствах и у конкурентов

Вы работаете с экспертами напрямую. Поэтому стоимость работ приятно вас удивит

Бесплатные доработки и консультации

Исполнитель внесет нужные правки в работу по вашему требованию без доплат. Корректировки в максимально короткие сроки

Гарантируем возврат

Если работа вас не устроит – мы вернем 100% суммы заказа

Техподдержка 7 дней в неделю

Наши менеджеры всегда на связи и оперативно решат любую проблему

Строгий отбор экспертов

К работе допускаются только проверенные специалисты с высшим образованием. Проверяем диплом на оценки «хорошо» и «отлично»

1 000 +
Новых работ ежедневно
computer

Требуются доработки?
Они включены в стоимость работы

Работы выполняют эксперты в своём деле. Они ценят свою репутацию, поэтому результат выполненной работы гарантирован

avatar
Экономика
Маркетинг
Информатика
icon
109736
рейтинг
icon
2698
работ сдано
icon
1237
отзывов
avatar
Математика
Физика
История
icon
103537
рейтинг
icon
5274
работ сдано
icon
2373
отзывов
avatar
Химия
Экономика
Биология
icon
74287
рейтинг
icon
1858
работ сдано
icon
1172
отзывов
avatar
Высшая математика
Информатика
Геодезия
icon
62710
рейтинг
icon
1046
работ сдано
icon
598
отзывов
Отзывы студентов о нашей работе
48 866 оценок star star star star star
среднее 4.9 из 5
ФГБОУ ВО "ЗГУ"
Работа была выполнена досрочно (очень быстро ). Реферат был выполнен без замечаний . Испол...
star star star star star
Удгу
Все отлично, очень быстро и качественно, работа принята без замечаний. Спасибо.
star star star star star
Балтийская Государственная Академия Рыбопромыслового Флота (БГАРФ)
Видно, что автору пока не хватает опыта в некоторых моментах связанных с оформлением. испр...
star star star star star

Последние размещённые задания

Ежедневно эксперты готовы работать над 1000 заданиями. Контролируйте процесс написания работы в режиме онлайн

только что

Дана поза номер 11, сделать рисунок и все задания к ней

Контрольная, Анатомия и физиология человека

Срок сдачи к 5 дек.

только что

Сделать все то, что написано в файле

Другое, IT-технологии, программирование

Срок сдачи к 7 дек.

1 минуту назад

Как можно скорее математика 1 курс меда

Контрольная, Математика

Срок сдачи к 1 дек.

2 минуты назад

Решить 4 номера под вариантом 27

Решение задач, Высшая математика

Срок сдачи к 4 дек.

2 минуты назад
2 минуты назад

Питание и контроль за массой тела при различной двигательной активности

Реферат, Физическая культура и спорт

Срок сдачи к 10 дек.

3 минуты назад

Тема: Основные фонды План работы: 1. Основные фонды предприятия

Курсовая, экономика предприятий

Срок сдачи к 19 дек.

3 минуты назад

Написать подробный реферат, но называется как курсовая Вариант 2

Курсовая, Техническое обслуживание и ремонт кузовов автомобилей

Срок сдачи к 10 дек.

3 минуты назад

Доклад по финансам

Доклад, финансы

Срок сдачи к 10 дек.

4 минуты назад

Инклюзивное образование: проблемы и перспективы»

Эссе, Педагогика

Срок сдачи к 18 дек.

4 минуты назад

Ответить на вопросы

Другое, Гражданское право

Срок сдачи к 3 дек.

5 минут назад

Сделать презентацию в ворде,10-15 слайдов

Другое, Отделение Туризм

Срок сдачи к 3 дек.

5 минут назад

составить курсовой проект по плану

Курсовая, Структуры рудных полей и месторождений, горное дело

Срок сдачи к 11 дек.

5 минут назад
6 минут назад

Социальная инженерия

Реферат, Информатика

Срок сдачи к 5 мар.

6 минут назад

Создание интерактивного демонстрационного материала по физической...

Курсовая, физическая культура

Срок сдачи к 18 дек.

6 минут назад

Эссе о периоде 1945 - 1953 в ссср

Эссе, История

Срок сдачи к 2 дек.

7 минут назад
planes planes
Закажи индивидуальную работу за 1 минуту!

Размещенные на сайт контрольные, курсовые и иные категории работ (далее — Работы) и их содержимое предназначены исключительно для ознакомления, без целей коммерческого использования. Все права в отношении Работ и их содержимого принадлежат их законным правообладателям. Любое их использование возможно лишь с согласия законных правообладателей. Администрация сайта не несет ответственности за возможный вред и/или убытки, возникшие в связи с использованием Работ и их содержимого.

«Всё сдал!» — безопасный онлайн-сервис с проверенными экспертами

Используя «Свежую базу РГСР», вы принимаете пользовательское соглашение
и политику обработки персональных данных
Сайт работает по московскому времени:

Вход или
регистрация
Регистрация или
Не нашли, что искали?

Заполните форму и узнайте цену на индивидуальную работу!

Файлы (при наличии)

    это быстро и бесплатно