«Статистические решения и игры с природой»

Содержание

1. Статистические решения и игры с природой………………………………3
2. Критерий Байеса и принятие решений при наличии априорной
статистической информации……………………………………………………5
3. Субъективные критерии принятия решений в условиях
неопределенности…………………………………………………………………6
4. Принцип недостаточного основания (критерий Лапласа)………………......7
5. Принцип максимина и критерий Вальда………………………...……………7
6. Критерий минимаксного риска (сожаления) Сэвиджа………………………8
7. Компромиссный способ принятия решений (критерий Гурвица)………….9
Список использованной литературы………………………………………..….11

1. Статистические решения и игры с природой

Трудно проследить весь путь развития теории принятия решений от ее
возникновения до наших дней, поскольку за это время изменялись как
содержание теории, так и название. В основу этой теории положена
концепция, связывающая такие понятия, как субъективная вероятность и
полезность. Большим вкладом в изучение проблемы неопределенности
явилась работа, посвященная структуре субъективной вероятности.
Современная теория полезности для принятия решений в условиях
неопределенности разработана независимо двумя авторами — фон Нейманом
и Моргенштерном. Они постулировали ряд аксиом, похожих на аксиомы
следующего раздела (используя только объективные вероятности), и
показали, что каждому возможному исходу можно поставить и соответствие
некоторую полезность. В соответствии с их аксиомами лицо, принимающее
решение, должно всегда выбирать альтернативу с максимальной ожидаемой
полезностью. Этот результат часто называют гипотезой ожидаемой
полезности. 
В настоящее время многие специальные приемы и методы теории
принятия решений развиты до такой степени, что позволяют охватить
большинство трудных вопросов, которые возникают при анализе сложных
проблем. Для создания гарантий необходимо разрабатывать более
совершенные методологические процедуры, относящиеся к многофакторным
предпочтениям, групповым действиям, оценке информации, программному
обеспечению и т. д. Нужно стремиться к тому, чтобы успешно применять
теорию для решения актуальных проблем, и использовать накопленный опыт
для совершенствования «искусства» применения. Проделанная работа будет
ненапрасной, поскольку в теории принятия решений заложены возможности,
реализация которых позволит значительно улучшить процесс принятия
решений в любой сфере деятельности человека.
Игра человека с природой тоже отражает конфликтную ситуацию,
возникающую  при столкновении интересов в  выборе решения. Но

"стихийным силам  природы" нельзя приписать разумные действия,
направленные против человека  и тем более какой-либо "злой умысел".
Таким образом, корректнее говорить о конфликтной ситуации, вызванной
столкновением интересов человека и неопределенностью действий природы.
Действия природы могут как  наносить ущерб, так и приносить 
прибыль.  Поведение природы можно оценить статистическими методами,
определить присущие ей закономерности. В зависимости от степени знания
этих закономерностей, определяющих поведение природы, различаются игры
с природой в условиях определенности и игры с природой в условиях
неопределенности.
В первых поведение природы известно полностью (заданы
вероятностями).  Во вторых - действия природы не известны, или изучены
частично.
К явлениям природы, влияющим на результат  решения относят не
только погодные и сезонные явления (дождь, засуху, урожай, неурожай), но
и проявление любых, не зависящих от нас обстоятельств: например,
задержки на транспорте.
Поиском решений в таких ситуациях  и занимается теория
статистических решений.
Человек, играя с природой, стремиться максимизировать свой
выигрыш, поэтому, если он осторожный игрок ( а теория игр рассматривает
именно таких игроков), он должен при выборе своей стратегии
руководствоваться тем, что неизвестные или известные ему закономерные
действия природы приведут к наименее благоприятным последствиям.
Именно поэтому такие игры можно рассматривать как игры двух лиц с
нулевой суммой, которые были уже нами рассмотрены.
Формализация задачи происходит следующим  образом:
у активного игрока (человека) возможные действия по прежнему называются
стратегиями, а возможные действия пассивного игрока (природы) -
состояниями или условиями природы.

В качестве первого игрока всегда выступает человек, поэтому в 
матрице записывается его выигрыш. Так как нас интересует оптимальная 
стратегия человека и его гарантированный  выигрыш, то в игру достаточно
определить максиминную стратегию первого игрока и нижнюю цену игры.
Определение  верхней цены игры имеет смысл, если даная игра повторяется
многократно и оптимальная стратегия может быть смешанной.

2. Критерий Байеса и принятие решений при наличии априорной

статистической информации

Критерий Байеса— в теории решений критерий принятия решений в
условиях отсутствия какой-либо информации об относительных
вероятностях стратегий “природы”. По Б. (Л.) к. предлагается придать
равные вероятности всем рассматриваемым стратегиям, после чего принять
ту из них, при которой ожидаемый выигрыш окажется наибольшим. Имеет
тот недостаток, что круг оцениваемых альтернатив в одной и той же задаче
может быть различным и соответственно различной может быть также
относительная вероятность каждой из них.
Обозначим через q i –вероятность появления внешнего состояния F j  .
Соответствующее правило выбора можно интерпретировать
следующим образом:
матрица решений    дополняется ещё одним столбцом содержащим
математическое ожидание значений каждой из строк. Выбираются те
варианты, в строках которых стоит наибольшее значение e ir  этого столбца.
При этом предполагается, что ситуация, в которой принимается
решение, характеризуется следующими обстоятельствами:
1 о . Вероятности появления состояния F j  известны и не зависят от
времени.
2 о . Решение реализуется (теоретически) бесконечно много раз.
3 о . Для малого числа реализаций решения допускается некоторый риск.

При достаточно большом количестве реализаций среднее значение
постепенно стабилизируется. Поэтому при полной (бесконечной) реализации
какой-либо риск практически исключён.
Т.о. критерий Байеса-Лапласа (B-L-критерий) более оптимистичен, чем
минимаксный критерий, однако он предполагает большую
информированность и достаточно длительную реализацию.

3. Субъективные критерии принятия решений в условиях

неопределенности

Неопределённость – это неполнота или недостоверность информации
об условиях реализации решения, наличие фактора случайности или
противодействия.
Приведем несколько общих критериев рационального выбора
вариантов решений из множества возможных. Критерии основаны на анализе
матрицы возможных состояний окружающей среды и альтернатив решений.
Матрица, приведенная в таблице 1, содержит: Аj — альтернативы, т. е.
варианты действий, один из которых необходимо выбрать; Si — возможные
варианты состояний окружающей среды; aij — элемент матрицы,
обозначающий значение стоимости капитала, принимаемое альтернативой j
при coстоянии окружающей среды i.
Таблица 1.1
 
Альтернатива S (состояние среды)  
А S1 SS2 … Si … Sm  
А1 aа11 aа12 … a1i … a1m  
  … … … … … …  
Аj aаj1 aаj2 … aji … ajm  
Аn aаn1 aаn2 … ajn … anm  
4. Принцип недостаточного основания (критерий Лапласа)

Критерий Лапласа опирается на принцип недостаточного основания,
который гласит, что, поскольку распределение вероятностей
состояний P(s i ) неизвестно, нет причин считать их различными.
Следовательно, используется оптимистическое предположение, что
вероятности всех состояний природы равны между собой, т.е. P{s 1 } = P{s 2 } =
... = P{s n } = 1/n. Если при этом v(а i , s j ) представляет получаемую прибыль, то
наилучшим решением является то, которое обеспечивает

    Если величина v(а i , s j ) представляет расходы лица, принимающего
решение, то оператор "max" заменяется на "min".

5. Принцип максимина и критерий Вальда

Критерий Вальда является самым "осторожным". Согласно ему,
оптимальной альтернативой будет та, которая обеспечивает наилучший
исход среди всех возможных альтернатив при самом плохом стечении
обстоятельств.
Если исходы отражают подлежащие минимизации показатели (убытки,
расходы, потери и т.д.), то критерий Вальда ориентируется
на "минимакс" (минимум среди максимальных значений потерь всех
альтернатив).
Если в качестве исходов альтернатив фигурируют показатели прибыли,
дохода и других показателей, которые надо максимизировать (по принципу
"чем больше, тем лучше"), то ищется "максимин" выигрыша (максимум
среди минимальных выигрышей). Здесь и далее для всех критериев в тексте
мы будем рассматривать именно такой случай, когда исход показывает некий
выигрыш.

По критерию Вальда оценкой i-й альтернативы является ее
наименьший выигрыш:
W i  = min(x ij ), j = 1..M
Оптимальной признается альтернатива с максимальным наихудшим
выигрышем:
Х* = Х k , W k  = max(W i ), i = 1..N

6. Критерий минимаксного риска (сожаления) Сэвиджа

   Критерий Сэвиджа стремится смягчить консерватизм минимаксного
(максиминного) критерия путем замены матрицы платежей (выигрышей или
проигрышей) v(аi, sj) матрицей потерь r(аi, sj), которая определяется
следующим образом.

    Чтобы показать, как критерий Сэвиджа "смягчает" минимаксный
(максиминный) критерий, рассмотрим следующую матрицу платежей v(аi,
sj):

Таблица 1. Матрица платежей
. s1 s2 Максимум строк
а1 11000 90 11000
а2 10000 10000 10000 - минимакс

    Применение минимаксного критерия приводит к тому, что
решение а2 с фиксированными потерями в 10000 долл. является
предпочтительным. Однако можно выбрать и а1 так как в этом случае
существует возможность потерять лишь 90 долл., если реализуется

состояние s2, при потенциальном выигрыше 11 000 долл. Посмотрим, какой
результат получится, если в минимаксном критерии вместо матрицы
платежей v(аi, sj) использовать матрицу потерь r(аi, sj).

Таблица 2. Матрица потерь
. s1 s2 Максимум строк
а1 1000 0 1000 - минимакс
а2 0 9910 9910

    Как видим, минимаксный критерий, применяемый к матрице потерь,
приводит к выбору решения ах в качестве предпочтительного.

7. Компромиссный способ принятия решений

(критерий Гурвица)

Рассмотрим теперь критерий Гурвица. Этот критерий охватывает ряд
различных подходов к принятию решений — от наиболее оптимистичного до
наиболее пессимистичного (консервативного). Пусть 0 <= а <= 1 и величины
v(а i , s j ) представляют доходы. Тогда решению, выбранному по критерию
Гурвица, соответствует

    Параметр а - показатель оптимизма.
Если a = 0, критерий Гурвица становится консервативным, так как его
применение эквивалентно применению обычного минимаксного критерия.
Если а = 1, критерий Гурвица становится слишком оптимистичным, ибо
рассчитывает на наилучшие из наилучших условий.
    Можно конкретизировать степень оптимизма (или пессимизма)
надлежащим выбором величины a интервала [0,1]. При отсутствии ярко

выраженной склонности к оптимизму или пессимизму выбор а = 0,5
представляется наиболее разумным.
    Если величины v(а i , s j ) представляют потери, то критерий принимает
следующий вид:

Список использованной литературы

1. Вэриан Х.Р. Микроэкономика. Промежуточный уровень.
Современный подход. М.: ЮНИТИ. 2017. Гл. 12.
2. Гранатуров В.М. Экономический риск: сущность, методы измерения,
пути снижения. М.: ДИС. 2012.
3. Дж. Фон Нейман, О. Моргенштерн. Теория игр и экономическое
поведение. М. Наука. 2016.

4. Доугерти К. Введение в эконометрику. М.: ИНФРА-М. 2015.
5. Замков О.О., Толстопятенко А.В., Черемных Ю.Н. Математические
методы в экономике. М.: ДИС. 2017.
6. Интрилигатор М. Математические методы оптимизации и
экономическая теория. М.: Прогресс. 2012. Гл. 7.6.